Электротехника и электроника Н.И. УСЕНКОВ Э Л Е К Т Р О Т Е Х Н И К А & Э Л Е К Т Р О Н И К А УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Оренбург • 2008 УДК 658.26:621311 (075.8) ББК 31.291я73 У74 Рецензент Бравичев С.Н., заведующий кафедрой «Электротехника» Оренбургского государственного университета, кандидат технических наук доцент. Усенков Н.И. У74 «Электротехника и электроника»: Учебное пособие. – Оренбург: Всемирный технологический университет, Оренбургский филиал, 2008. – 90 с. Изложены основные положения теории электрических цепей основ промышленной электроники и электрических измерений. Дано описание устройства и рабочих свойств трансформаторов, электрических машин постоянного и переменного тока. Учебное пособие предназначено для изучения курса «Электротехника и электроника» студентами очно-заочной формы обучения факультета техники и технологий ВТУ, осуществляющих подготовку бакалавров по неэлектрическим направлениям и инженеров по неэлектрическим специальностям (направление «Защита окружающей среды»). ББК 31.291я73 Усенков Н.И., 2008 ГОУ ВТУ, 2008 Содержание 1 Основные понятия и определения 1.1 Общие сведения 1.2 Резистивные элементы 1.3 Индуктивный и емкостный элементы 1.4 Источники постоянного напряжения 2 Электрические цепи постоянного тока 2.1 Общие сведения 2.2 Законы Кирхгофа 2.3 Распределение потенциала вдоль электрической цепи 2.4 Последовательное и параллельное соединения резистивных элементов 2.5 Соединение резисторов треугольником и звездой 2.6 Электрическая энергия и мощность 2.7 Номинальные величины источников и приемников. Режимы работы электрических цепей 3 Линейные однофазные электрические цепи синусоидального тока 3.1 Основные величины, характеризующие синусоидальные ток, напряжение и ЭДС 3.2 Элементы электрических цепей синусоидального тока 3.3 Расчет неразветвленной электрической цепи синусоидального тока 3.4 Мощность в линейных цепях синусоидального тока 4 Трехфазные линейные электрические цепи синусоидального тока 4.1 Трехфазный источник электрической энергии 4.2 Анализ электрических цепей при соединении трехфазного источника и приемника по схеме «звезда» с нулевым проводом 4.3 Соединение приемника по схеме «треугольник» 4.4 Мощность трехфазной цепи 6 Электрические измерения и приборы 6.1 Системы электрических измерительных приборов 6.2 Основные характеристики электрических измерительных приборов 6.3 Измерение тока, напряжения и мощности 7 Электрические трансформаторы 7.1 Общие сведения 7.2 Принцип действия электрического трансформатора 7.3 Работа электрического трансформатора в режиме холостого хода 7.4 Опыт короткого замыкания 7.5 Мощность потерь в трансформаторе 7.6 Автотрансформаторы 8 Электрические машины 8.1 Общие сведения 8.2 Вращающееся магнитное поле 8.3 Асинхронные машины 8.4 Синхронные машины 8.5 Машины постоянного тока 9 Основы промышленной электроники 9.1 Общие сведения 9.2 Полупроводниковые диоды 9.3 Выпрямители на полупроводниковых диодах 9.4 Транзисторы Рекомендуемая литература 1 Основные понятия и определения 1.1 Общие сведения Электротехника – наука о практическом применении электрических и магнитных явлений. В промышленности и в быту применяется разнообразное электрооборудование: двигатели, нагревательные и осветительные приборы и т.д. Электрическая энергия используется в средствах связи, в телевидении и радио, в ЭВМ, в системах водоснабжения, отопления, канализации и иных бытовых и технологических устройствах. Механизация и автоматизация технологических процессов во многом зависит от уровня электрификации этих процессов. Поэтому инженеры должны иметь понятие об основных процессах в электротехнических устройствах и знать их характеристики, чтобы квалифицированно применять на производстве электрические средства. При работе любого электротехнического устройства через него проходит электрический ток, необходимым условием существования которого является наличие замкнутого контура – электрической цепи (ЭЦ). Основными элементами ЭЦ являются источники и приемники электрической энергии (ЭЭ) . Кроме этих элементов, ЭЦ содержит измерительные приборы, коммутационную аппаратуру, провода. В источниках ЭЭ различные виды энергии преобразуются в электрическую. Так, в генераторах электростанций в ЭЭ преобразуется энергия механическая, в гальванических элементах и аккумуляторах – химическая, в солнечных батареях – световая и т.д. В приемниках происходит обратный процесс – ЭЭ источников преобразуется в тепловую (нагревательные элементы), световую (электрические лампы), механическую (двигатели), химическую (электролизные ванны) и т.д. Для теоретического анализа какой-либо ЭЦ ее изображают схемой – графическим изображением ЭЦ с помощью условных обозначений. В качестве примера простейшей ЭЦ рассмотрим ЭЦ карманного фонарика, в которой источником ЭЭ служит гальванический элемент (батарейка), а приемником ЭЭ – электрическая лампочка. Схема этой цепи изображена на рисунке 1, на которой стрелками указаны направление тока I (направление движения положительно заряженных частиц) и направления напряжений U на клеммах источника ЭЭ, и U 0 на его внутреннем сопротивлении R 0 (от плюса – к минусу). Направление ЭДС так же указывается стрелкой, только в направлении от минуса к плюсу. Рисунок 1 – Схема электрической цепи карманного фонарика Приемники ЭЭ по характеру физических процессов, протекающих в них, делятся на три основных вида: резистивные, индуктивные и емкостные. 1.2 Резистивные элементы В идеальных резистивных элементах (резисторах) вся ЭЭ необратимо преобразуется в другие виды энергии. Примеры резистивных элементов, близких к идеальным: лампы накаливания (ЭЭ необратимо преобразуется в световую и тепловую энергии), нагревательные элементы (ЭЭ необратимо преобразуется в тепловую), электродвигатели (ЭЭ необратимо преобразуется в механическую и тепловую энергии) и др. Основной характеристикой резистивного элемента является его вольтамперная характеристика (ВАХ). U f (I ), (1.1) где U – напряжение на выводах резистивного элемента, В; I – сила тока в нем, А. Если эта зависимость линейная, то резистивный элемент называется линейным и выражение (1.1) имеет вид, известный как закон Ома : URI , (1.2) где R – постоянная величина, называемая сопротивлением резистора, Ом. Однако во многих случаях ВАХ резисторов является нелинейной. Для многих резисторов (нагревательные спирали, реостаты и др.) нелинейность ВАХ объясняется тем, что эти элементы – металлические проводники и электрический ток в них – есть ток проводимости (направленное движение - “дрейф” свободных электронов). Дрейфу электронов препятствуют (оказывают сопротивление) колеблющиеся атомы, амплитуда колебаний которых определяется температурой проводника (температура – мера кинетической энергии атомов!). При протекании тока, свободные электроны сталкиваются с атомами и еще более раскачивают их. Следовательно, температура проводника возрастает, отчего увеличивается и его сопротивление R . Таким образом, сопротивление R зависит от тока R f (I ) и ВАХ нелинейн а (рисунок1.2, кривая а). При изменении температуры в небольших пределах сопротивление проводника выражается формулой R R 0 1 (T T 0 ) , (1.3) где R 0 , R – сопротивления проводников при температуре Т 0 , Т ; Т 0 – начальная температура проводника; Т – конечная температура проводника; температурный коэффициент сопротивления. Рисунок 1.2 – Общий вид ВАХ металлического (а), полупроводникового (б), и константанового (в) резистивных элементов У большинства чистых металлов >0, что означает, что с повышением температуры сопротивление металлов увеличивается. У электролитов, изделий из графита и полупроводников <0 (таблица 1.1). Таблица 1.1 – Удельное сопротивление и температурный коэффициент сопротивления некоторых материалов Наименование материала Удельное сопротивление при 20 0 С, мкОм м Температурный коэффициент сопротивления, 1/К Вольфрам Уголь Манганин (Cu–80%, Mn–12%, Ni–3%) Константан Нихром (Cr-20%, Ni-80%) Полупроводники (Si, Ge) 0,0508 10-60 0,4-0,52 0,44 1,02-1,12 1,0-14 0,0048 -0,005 3 10-5 5 10-5 0,0001 -(0,2-0,8) В таблице 1.2 приведены условные графические обозначения резистивных элементов. Таблица 1.2 – Условные обозначения резисторов Для характеристики проводящих свойств различных материалов существует понятие объемного удельного электрического сопротивления . Объемное удельное электрическое сопротивление данного материала равно сопротивлению между гранями куба с ребром 1 м в соответствии с формулой , (1.4) l где S – площадь поперечного сечения проводника, м2 ; l – длина проводника, м. 1.3 Индуктивный и емкостный элементы Эти элементы имеют принципиальное отличие от резистивных элементов в том, что в них не происходит необратимого преобразования ЭЭ в другие виды энергии. Поэтому, когда сопоставляют элементы по своему характеру, то резистивные элементы называют активными , а индуктивный и емкостный элементы реактивными . Классическим примером индуктивного элемента является катушка, намотанная проводом на магнитопровод (сердечник). Примерами емкостного элемента являются конденсаторы плоские, цилиндрические, сферические и т.д. Напряжение u L на идеальном индуктивном элементе связано с током i L в этом элементе формулой diL , (1.5) uL L dt где L – индуктивность элемента, Гн. Для идеального емкостного элемента ток i C и напряжение u C выражаются идентичной формулой iС C duC , (1.6) dt где С – емкость элемента, Ф. Из (1.5) и (1.6) следуют выводы: - при постоянном токе (i L =const ) напряжение u L =0, вследствие чего и сопротивление индуктивного элемента на постоянном токе равно нулю; - при постоянном напряжении (u C =const ) ток i C =0, вследствие чего сопротивление емкостного элемента на постоянном токе равно бесконечности. Таким образом, идеальный индуктивный элемент пропускает постоянный ток без сопротивления , а идеальный емкостный элемент не пропускает постоянный ток. Конденсаторы можно рассматривать как идеальные емкостные элементы . Однако катушки индуктивности часто имеют значительное резистивное сопротивление, и поэтому не могут рассматриваться в качестве идеальных индуктивных элементов. Условное обозначение в схемах ЭЦ: 2-4 L идеального индуктивного элемента: ; С идеального емкостного элемента: . 0,5-1 1.4 Источники постоянного напряжения Источник постоянного напряжения (ИПН) характеризуется следую- щими основными параметрами: – электродвижущей силой (ЭДС) Е ; – внутренним сопротивлением R 0 ; – напряжением U на зажимах (полюсах) источника. Схема ИПН с подключенным к нему приемником R изображена на рисунке 1.3,а. Основной характеристикой ИПН является его ВАХ (внешняя характеристика) – зависимость напряжения U на его зажимах от тока I источника (прямая 1 на рисунке 1.3,б). U Е R 0 I , (1.7) Уменьшение напряжения U источника при увеличении тока объясняется увеличением падения напряжения на внутреннем сопротивлении R 0 источника (слагаемое R 0 I в (1.7)). Прямая 2 соответствует ВАХ идеального ИПН, у которого R 0 =0. Анализ (1.7) позволяет сделать выводы: – при токе источника I =0 (холостой ход источника) напряжение источника равно его ЭДС: U ; – ЭДС источника – это его напряжение в режиме холостого хода; – по известной ВАХ источника (рисунок 1.3,б) можно определить его внутреннее сопротивление по формуле: R 0 . (1.8) I 1 – ЭДС источника (рисунок 1.3,а) можно измерить в режиме холостого хода вольтметром pV 1 с относительно большим внутренним сопротивлением RV , так как при (RV R 0 ) из (1.7) имеем: E UV R 0 I IRV R 0 I UV =U , (1.9) где U V – напряжение на вольтметре. а) б) Рисунок 1.3 – Схема простейшей электрической цепи (а) и ВАХ ИПН (б) 2 Электрические цепи постоянного тока 2.1 Общие сведения Электротехнические устройства, установки и системы постоянного тока имеют большое практическое применение на транспорте (двигатели подъемных механизмов, трамваев, троллейбусов, электровозов, электрокар), при электрохимическом получении металлов (электролизные ванны), в космической технике, в радиоэлектронике, компьютерной технике и т.д. Применение высоковольтных ЛЭП постоянного тока большой протяженности экономически оказывается более целесообразно, чем ЛЭП переменного тока. Электротехника началась с освоения энергии постоянного тока, которая вырабатывалась гальваническими элементами. В настоящее время основными источниками постоянного напряжения (ИПН) являются выпрямительные преобразователи (выпрямители), химические аккумуляторы, электромашинные генераторы постоянного тока. Развиваются и совершенствуются новые виды ИПН: – источники, преобразующие лучистую энергию Солнца при помощи фотоэлементов, являющихся основными источниками электрической энергии космических аппаратов; – магнитогидродинамические генераторы (МГД-генераторы); – имеются сообщения о создании электрохимических ИПН для электромобилей, в которых электрическая энергия будет получаться в результате реакции кислорода атмосферного воздуха с бензиновым топливом. В электротехнике решаются две задачи: – синтез электротехнических устройств; – анализ этих устройств. Задача синтеза решается при создании новых устройств конструкторами. Это – наиболее сложная задача. Анализ работы электроустройств чаще всего необходимо проводить уже при их эксплуатации, поэтому существуют типовые задачи анализа. Как правило, задача анализа состоит в определении токов и напряжений на всех участках электрической цепи. При этом конфигурация цепи и параметры ее элементов (ВАХ источников и потребителей энергии, электрические сопротивления токопроводов и др.) считаются известными. Как уже отмечалось, при анализе (расчете режима работы) ЭЦ необходимо эту цепь представить и изобразить графически схемой, в которой элементы электрической цепи представлены в виде соединений идеализированных элементов – резистивного R , индуктивного L , и емкостного C , а источники ЭЭ представляются как последовательное соединение ЭДС и внутренних сопротивлений этих источников. Однако при анализе ЭЦ постоянного тока, пассивными элементами схем являются только резистивные элементы, т.к. сопротивления индуктивных элементов ( Х L L ) постоянному току равны нулю, а сопротивления емкостных элементов ( ХС 1/( С )) при этом равны бесконечности, так что емкостные элементы разрывают ЭЦ постоянного тока. 2.2 Законы Кирхгофа Законы Кирхгофа лежат в основе анализа электрических цепей. 2.2.1 Первый закон Кирхгофа Алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю. Математически это записывается так: 0. (2.1) Всем токам, направленным от узла , в уравнении (2.1) приписывается одинаковый знак, например, положительный , тогда все токи, направленные к узлу , войдут в уравнение с отрицательным знаком. Рисунок 2.1 – Иллюстрация к первому закону Кирхгофа На рисунке 2.1 показан узел, в котором сходятся четыре ветви. Уравнение (2.1) в этом случае принимает вид: 0, Первый закон Кирхгофа отражает тот факт, что в узле электрический заряд не накапливается и не расходуется. Сумма электрических зарядов, приходящих к узлу, равна сумме зарядов, уходящих от узла за один и тот же промежуток времени. 2.2.2 Второй закон Кирхгофа Алгебраическая сумма ЭДС в любом контуре цепи равна алгебраической сумме напряжений на элементах этого контура. Математически это записывается так (2.2) Если в рассматриваемом контуре отсутствуют ЭДС, то уравнение (2.2) принимает вид: 0. (2.3) Перед составлением уравнения по второму закону Кирхгофа необходимо выполнить следующие процедуры: 1 Выбрать замкнутый контур цепи. 2 Выбрать направление обхода по контуру, которое выбирается либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелке. 3 Выбрать направления токов в ветвях, входящих в выбранный контур. Далее при составлении уравнения ЭДС и напряжения, совпадающие с направлением обхода, берут со знаком «+», в противном случае – со знаком «-». Например, для схемы рисунка 2.2 уравнение запишется: Рисунок 2.2 – Иллюстрация ко второму закону Кирхгофа Второй закон Кирхгофа можно применять и для контуров, которые состоят не только из участков схемы, но и из напряжений между какимилибо точками схемы. Так для контура 4-5-3-6-4, состоящего из участка цепи 4-5-3 и напряжения 4-6-3, можно составить уравнение E 2 I 3 R 3 U 43, где U 43 – напряжение между точками 4 и 3 схемы, В. 2.3 Распределение потенциала вдоль электрической цепи Рассмотрим неразветвленную ЭЦ постоянного тока, содержащую резисторы с сопротивлениями R и источниками ЭДС E (рисунок 2.3). Примем потенциал одной из точек этой цепи равным нулю: 0. Тогда можем найти потенциалы остальных точек схемы при известных значениях силы тока I , ЭДС E 1 , E 2 , E 3 и сопротивлений R 1 , R 2 , R 3 : (2.4) График изменения потенциала в соответствии с формулами (2.4) представлен на рисунке 2.3, б. Этот график служит графической иллюстрацией второго закона Кирхгофа. Рисунок 2.3 – Схема ЭЦ постоянного тока (а) и график изменения потенциала (б) вдоль цепи 2.4 Последовательное и параллельное соединения резистивных элементов 2.4.1 Последовательное соединение. Рассмотрим цепь с последовательным соединением резисторов с соответствующими сопротивлениями R 1 , R 2 (рисунок 2.4). Ток I , протекающий по этим резисторам один и тот же. Напряжения U 1 и U 2 на каждом из резисторов различны. На основании второго закона Кирхгофа можно записать: U U 1 U 2 , (2.5) где U – напряжение источника ЭДС, приложенное к обоим резисторам, В. Применяя закон Ома, перепишем уравнение (2.5) U I R 1 I R 2 ; (2.6) U I (R 1 R 2 ) I R 12 , где R 12 – общее (эквивалентное) сопротивление всей цепи относительно зажимов 1 и 2, Ом. Рисунок 2.4 – Схема ЭЦ с последовательным соединением резисторов (а) и упрощенная схема этой цепи с эквивалентным сопротивлением (б) Полученные результаты можно распространить на n последовательно соединенных резисторов: R 1, 2,...,n R 1 R 2 ... R n , (2.7) Сопротивление цепи, состоящей из нескольких последовательно соединенных резистивных элементов, равно сумме их сопротивлений. 2.4.2 Параллельное соединение а) б) Рисунок 2.5 – Схема ЭЦ с параллельным соединением резисторов (а) и упрощенная схема этой цепи с эквивалентным сопротивлением (б) При параллельном соединении элементов (рис.2.5,а) к ним приложено одно и то же напряжение. На основании первого закона Кирхгофа можно записать или ) , (2.8) где R 12 – общее эквивалентное сопротивление цепи, Ом. Выражение (2.8) можно распространить на случай n параллельно соединенных резистивных элементов. Тогда , (2.9) R 1, 2...,n 1 R 2 R n Если вместо сопротивлений резисторов ввести понятие электрической проводимости , равной G 1 и т.д., получим: G 1, 2,...,n G n , (2.10) Общая эквивалентная проводимость G1,2,…,n электрической цепи, состоящей из n параллельно соединенных резистивных элементов, равна сумме их проводимостей G1 +G2 +…+Gn . Параллельное включение – основой способ включения в ЭЦ различных приемников (потребителей) электрической энергии. Цепь, питающая током какой-нибудь населенный пункт, представляет собой систему параллельно соединенных приемников электрической энергии. Основная линия распадается на параллельные линии, идущие к отдельным районам населенного пункта. Эти районные линии в свою очередь разветвляются на более мелкие, обслуживающие отдельные улицы, здания, предприятия. Но и эти линии разветвляются на более мелкие ветви, пока, наконец, в отдельные конечные ветви не окажутся включенными непосредственно приемники электрической энергии: электродвигатели в цехах заводов, лампы в зданиях и т.д. На рисунке 2.6 изображена такая конечная ветвь электрической цепи, в которой параллельно включены лампы накаливания 1, нагревательные приборы 2, электродвигатель 3 и аккумулятор 4, поставленный на зарядку. Рисунок 2.6 - Схема ЭЦ с параллельно включенными приемниками электрической энергии 2.5 Соединение резисторов треугольником и звездой Под соединением резисторов треугольником, (рисунок 2.7, а) понимают такое соединение, при котором конец (х ) одного из резисторов соединяется с началом (в ) второго, конец (у ) второго – с началом (с ) третьего, конец (z ) третьего с началом (а ) первого, а полученные точки а , в , с подключаются к остальной части цепи. Рисунок 2.7 – Схемы соединений резисторов треугольником (а) и звездой (б) Для упрощения анализа и расчета некоторых ЭЦ, содержащих соединения резисторов треугольником, целесообразно заменить эти резисторы эквивалентными резисторами Ra , Rв , Rc , соединенными звездой (рисунок 2.7, б). Замена треугольника резисторов эквивалентной звездой должна быть произведена таким образом, чтобы после нее токи Ia ,Iв ,Ic и напряжения Uав , U вс , U ac в незатронутой части ЭЦ остались без изменения. Значения сопротивлений Ra ,Rв ,Rc эквивалентной звезды находятся по формулам ; Rв ; Rc , (2.11) Иногда может возникнуть обратная задача – преобразование звезды резисторов в треугольник резисторов. В этом случае используют формулы: 2.6 Электрическая энергия и мощность Согласно закону Джоуля-Ленца энергия, потребляемая резистивным элементом (резистором) с сопротивлением R , определяется по формулам: В ЭЦ постоянного тока мощность Р равна отношению энергии W к промежутку времени t , в течение которого энергия была выработана источником или преобразована приемником ЭЭ: Р , (2.14) t Мощность численно равна энергии W , если промежуток времени t равен единице. Из (2.13) и (2.14) получаем выражения для расчета мощности резистивного приемника: (2.15) Если направление ЭДС и тока через источник совпадают, то мощность, вырабатываемая источником с ЭДС Е равна: Ри E I . В противном случае мощность источника отрицательна Ри и ее относят к мощности приемника. Для любой ЭЦ можно записать уравнение баланса мощностей Ри Рп , или I Ri , (2.16) В левой части уравнения (2.16) находятся мощности, вырабатываемые всеми источниками ЭЭ, в правой – мощности, преобразуемые (потребляемые) всеми приемниками ЭЭ. Основными единицами ЭЭ и мощности являются 1 джоуль (1 Дж= =1 ВАс) и 1 ватт (1 Вт=1 Дж/с=1 ВА). Для мощности и энергии промышленных установок часто используются более крупные единицы: 1 киловатт (1 кВт=103 Вт), 1 мегаватт (1 МВт=106 Вт), 1 киловатт-час (1 кВтч= =3,6 106 Втс). 2.7 Номинальные величины источников и приемников. Режимы работы электрических цепей Каждый приемник ЭЭ характеризуется номинальными величинами, которые приводятся в справочной литературе, на щитке, прикрепленном к корпусу и др. К номинальным величинам приемников относят номинальное напряжение Uн , мощность P н и ток I н (например, на лампах накаливания имеется штамп, в котором указывается номинальное напряжение и мощность). В качестве номинальных величин аккумуляторов указываются напряжение и емкость (в ампер-часах), которая показывает, какое количество электричества может пройти через аккумулятор, пока его напряжение не снизится до некоторого минимального значения. Электрические цепи могут работать в различных режимах. Номинальный режим работы какого-либо элемента электрической цепи (источника, приемника) считается такой режим, в котором данный элемент работает при номинальных величинах. Согласованным называется режим, при котором мощность, отдаваемая источником или потребляемая приемником, имеет максимальное значение. Максимальные значения мощностей получаются при определенном соотношении (согласовании) параметров ЭЦ. Под режимом холостого хода ( ХХ) – понимается такой режим, при котором через источник или приемник не протекает ток. При этом источник не отдает энергию во внешнюю цепь, а приемник не потребляет ее. Режимом короткого замыкания ( КЗ) называется режим, возникающий при соединении между собой без какого-либо сопротивления (накоротко) зажимов источника или иных элементов ЭЦ, между которыми имеется напряжение. Режим короткого замыкания может быть следствием нарушения изоляции, обрыва проводов, ошибки оператора при сборке электрической цепи и др. При коротком замыкании могут возникнуть недопустимо большие токи, электрическая дуга, что может привести к тяжелым последствиям, поэтому режим короткого замыкания является аварийным. 3 Линейные однофазные электрические цепи синусоидального тока 3.1 Основные величины, характеризующие синусоидальные ток, напряжение и ЭДС Этими основными величинами являются: - мгновенное значение: i t , u t , e t ; - амплитудное значение: I m , U m , E m ; - начальная фаза: ; - действующее значение: I , U , E ; - среднее значение: I cp , U cp , E cp ; - комплекс амплитудного значения: I &m , U &m , E &m ; - комплекс действующего значения: I &, U &, E & . 3.1.1 Мгновенные значения тока i , напряжения u или ЭДС е записываются в виде: i Im sin( t ), (3.2) u Um sin( t ), (3.3) e Em sin( t ), (3.4) Угловая частота связана с периодом Т и частотой f= 1/Т формулами: 2 или 2 f , (3.5) T Частота f , равная числу колебаний в 1с., измеряется в герцах (Гц). При f =50 Гц имеем =314 рад/с. Наибольшее распространение в электротехнике получил синусоидальный ток частотой 50 Гц, которая принята за стандартную. В США стандартной является частота f =60 Гц. Диапазон частот, применяемых на практике синусоидальных токов и напряжений, очень широк: от долей герца, например, в геологоразведке, до десятков тысяч мегагерц (МГц) в радиолокации. Синусоидальные токи и напряжения низких частот (до нескольких килогерц) получают с помощью синхронных генераторов , в которых используется принцип получения синусоидального напряжения путем вращения витка с постоянной угловой скоростью в однородном магнитном поле. Этот принцип основан на явлении электромагнитной индукции, открытом в 1831 году М.Фарадеем. Синусоидальные токи и напряжения высоких частот (ВЧ) получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов. На рисунке 3.1 изображены графики синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами: i 1m 1 sin( t i 2m 2 sin( t ). По оси абсцисс отложено время t и величина t , пропорциональная времени и измеряемая в радианах. Рисунок 3.1 – График синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами Начальный фазный угол отсчитывается от начала синусоиды, т.е. от момента перехода синусоиды от отрицательных к положительным значениям до момента времени t =0 (начало координат). При >0 начало синусоиды сдвинуто влево , а при <0 – вправо от начала координат. Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты друг относительно друга по фазе . Сдвиг фаз измеряется разностью фаз, которая равна разности начальных фаз. На рисунке 3.1 >0, т.е. ток i 1 опережает по фазе ток 2 , или, что тоже самое, ток i 2 отстает по фазе от тока i 1 на угол Если у синусоидальных функций одной частоты одинаковые начальные фазы, то говорят, что они совпадают по фазе ; если разность их фаз равна , то говорят, что они противоположны по фазе (в противофазе). И, если разность их фаз равна / 2, то говорят, что они находятся в квадратуре . Источники синусоидальной ЭДС (источники синусоидального напряжения) обозначают на схемах с помощью условных обозначений (рисунок 3.2, а, б) или только показывают напряжение между зажимами источника (рисунок 3.2, в), т.к. в большинстве случаев принимают источники идеальными, и ввиду равенства нулю их внутреннего сопротивления, имеем Рисунок 3.2 – Условные обозначения идеальных источников ЭДС 3.1.2 Действующее и среднее значения синусоидальных токов и напряжений. Согласно закону Джоуля-Ленца тепловая энергия Q , выделяемая в резисторе с сопротивлением R при протекании по нему постоянного тока I 0 в течение промежутка времени t равна: Q 0 I 0 2 R t . (3.6) Для синусоидального тока формулу (3.7) можно применить лишь для определения тепловой энергии dQ , выделившейся в резисторе с сопротивлением R за бесконечно малый промежуток времени dt , в течение которого силу тока i можно считать не изменяющейся: dQi 2 Rdt , (3.8) За период времени Т выделившаяся энергия: T Q i 2 Rdt , (3.9) 0 Пусть i I m 2 RT . 2 0 0 При равенстве Q 0 Q имеем: Im 2 I 0 , т.е. равенство выделяемой в резисторе R энергии за время tT , амплитуда синусоидального тока должна быть в 2 раз больше постоянного тока I 0 . Величина I , называется действующим значением синусоидального тока , и, подставив ее в последнее выражение, получим: QI 2 RT , (3.10) Сопоставив формулу (3.10), полученную для синусоидального тока, с формулой (3.7), справедливой для постоянного тока, делаем вывод: Действующее значение синусоидального тока равно такому значению постоянного тока, который за один период выделяет в том же резисторе такое же количество тепла, как и синусоидальный ток. Аналогично существуют понятия действующих значений синусоидальных напряжений и ЭДС: U и E . (3.11) Из формул (3.9) и (3.10) получаем: I (3.12) В силу (3.12) действующее значение синусоидального тока часто называют среднеквадратичным или эффективным значениями. Действующие значения токов и напряжений показывают большинство электроизмерительных приборов (амперметров, вольтметров). В действующих значениях указываются номинальные токи и напряжения в паспортах различных электроприборов и устройств. Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за полпериода: T Iср m sin Im , (3.13) 2 т.е. среднее значение синусоидального тока составляет =0,638 от амплитудного значения. Аналогично, Eср 2Еm / , Uср . 3.1.3 Изображение синусоидальных токов, напряжений и ЭДС комплексными числами и векторами. Синусоидально изменяющийся ток i изображается комплексным числом: i . (3.14) Принято изображение тока находить для момента времени t =0: i . (3.15) Величину I & m называют комплексной амплитудой тока или комплексом амплитуды тока. Под комплексом действующего значения тока или под комплексом тока I & понимают частное от деления комплексной амплитуды тока на 2 : , (3.16) Под комплексами напряжения и ЭДС понимают подобные выражения U & E & . Рисунок 3.3 - Изображение синусоидального тока на комплексной плоскости вектором I & Комплексы тока, напряжения и ЭДС изображаются также на комплексной плоскости векторами. Например, на рисунке 3.3 изображен вектор I & . При этом угол отсчитывается от оси +1 против часовой стрелки, если >0. Из рисунка 3.3 следует, что комплекс тока I & (так же, как комплекс напряжения и ЭДС) можно представить: а) вектором I &; б) комплексным числом в показательной, алгебраической и тригонометрической формах: I & I e j i Re I & j Jm I & Icos i j I sin i , (3.17) Пример 3.1 Ток i 2 sin t 300 А. Записать выражение для комплексной амплитуды этого тока. Решение: В данном случае Im =2 А, =300 . Следовательно, I &m 2 e j 30 0 2 cos 300 j 2 sin 30 j 1 А Пример 3.2 Комплексная амплитуда тока I & m 0 А. Записать выражение для мгновенного значения этого тока. Решение: Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению надо умножить I & m на e и взять коэффициент при мнимой части от полученного произведения: i Jm 25 e j 300 e j t Jm 25 e j t 300 25 sin t 300 . Пример 3.3 Записать выражение комплекса действующего значения тока для примера 3.1. Решение: I & j 30 0 А. 3.2 Элементы электрических цепей синусоидального тока Основные элементы электрических цепей синусоидального тока: - источники электрической энергии (источники ЭДС и источники тока); - резистивные элементы (резисторы, реостаты, нагревательные элементы и т.д.); - емкостные элементы (конденсаторы); - индуктивные элементы (катушки индуктивности). 3.2.1 Резистивный элемент (РЭ). На рисунке 3.4, а изображен РЭ, по которому течет ток i m sin t . (3.18) По закону Ома напряжение РЭ u m sin Um sin t , (3.19) где U m m . Из формул (3.18) и (3.19) следует вывод: ток и напряжение в резистивном элементе совпадают по фазе (изменяются синфазно ). Это положение наглядно иллюстрируется на рисунке 3.4, б, в. Из формул (3.19) следует другой вывод: закон Ома выполняется как для амплитудных значений тока и напряжения: Um R Im , (3.20) так и для действующих значений тока и напряжения: U R I . (3.21) Выразим мгновенную мощность p через мгновенные значения тока i и напряжения u : p 2 (3.22) U I 1 cos 2 t . Рисунок 3.4 - Резистивный элемент: а) изображение на схеме; б) векторы тока и напряжения; в) графики тока и напряжения; г) график мгновенной мощности График изменения мощности p со временем представлен на рисунке 3.4, г. Анализ графика и формулы (3.22) позволяют сделать выводы: – мгновенная мощность p имеет постоянную составляющую Um U I и 2 переменную составляющую Um Im cos 2 t , изменяющуюся с частотой 2 2 ; – мощность в любой момент времени положительна р 0 . Это значит, что в резистивном элементе происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии; – постоянная составляющая в формуле (3.22) есть среднее значение мгновенной мощности за промежуток времени равный периоду Т . Следовательно, энергия W , преобразуемая в резистивном элементе в течение периода, подсчитывается по формуле W (3.23) Энергия, преобразуемая в резистивном элементе за любой промежуток времени от 0 до t определяется по формуле t t W (3.24) 0 0 3.2.2 Индуктивный элемент. Классическим примером индуктивного элемента (ИЭ) является катушка индуктивности – провод, намотанный на изоляционный каркас (рисунок 3.5, а) На рисунке 3.5, б изображен индуктивный элемент, по которому течет ток iL Im sin t . (3.25) Согласно закону электромагнитной индукции напряжение на индуктивном элементе u L dФ d L i L di L , т.е. u L L di L (3.26) dt dt dt dt где Ф – магнитный поток, сконцентрированный внутри индуктивного элемента (катушки индуктивности); L – индуктивность элемента (коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и током в индуктивном элементе), для линейного индуктивного элемента индуктивность Lconst . Подставляя в (3.26) выражение (3.25), получим: uL L Im cos t Um sin t 900 , (3.27) где Um L Im XL Im . Величина X L L называется индуктивным сопротивлением , измеряется в Омах и зависит от частоты . Сопоставляя выражения (3.25) и (3.27) сделаем важный вывод: ток в индуктивном элементе отстает по фазе от напряжения на (900 ). 2 Это положение иллюстрируется на рисунке 3.5, в, г. Из формулы (3.27) следует также: – индуктивный элемент оказывает синусоидальному (переменному) току сопротивление, модуль которого X L L , прямо пропорционален частоте; – «Закон Ома» выполняется как для амплитудных значений тока и напряжения: Um Im , (3.28) так и для действующих значений: Um I . (3.29) u L =L di L U Ф dt L I L а) б) в) 2 Рисунок 3.5 - Индуктивный элемент: а) схема конструкции катушки индуктивности; б) изображение ИЭ на схеме; в) векторы тока и напряжения; г) графики тока и напряжения; д) график мгновенной мощности Выразим мгновенную мощность p через i и u : p (3.30) 2 График изменения мощности p со временем построен на основании формул (3.30) на рисунке 3.5, д. Анализ графика и (3.30) позволяют сделать выводы: – мгновенная мощность на индуктивном элементе имеет только переменную составляющую U I sin 2 t , изменяющуюся с двойной частотой (2 – мощность периодически меняется по знаку: то положительна, то отрицательна. Это значит, что в течение одних полупериодов, когда p 0, энергия запасается в индуктивном элементе (в виде энергии магнитного поля), а в течение других полупериодов, когда p 0, энергия возвращается в электрическую цепь. Запасаемая в индуктивном элементе энергия за время dt равна: dW pdt . (3.31) Максимальная энергия, запасенная в индуктивном элементе, определится по формуле: . (3.33) 2 3.2.3 Емкостный элемент. Примером емкостного элемента является плоский конденсатор – две параллельные пластины, находящиеся на небольшом расстоянии друг от друга (рисунок 3.6, а). Пусть к емкостному элементу приложено напряжение (рисунок 3.6, б). uc Um sin t . (3.34) На пластинах емкостного элемента появится заряд q , пропорциональный приложенному напряжению: q C uc . (3.35) Тогда ток в емкостном элементе: ic . (3.36) Рисунок 3.6 – Емкостный элемент: а) схема конструкции плоского конденсатора; б) изображение емкостного элементе на схеме; в) векторы тока и напряжения на емкостном элементе; г) графики мгновенных значений тока и напряжения; д) график мгновенной мощности. Таким образом, получим важные соотношения: где Xc – емкостное сопротивление, измеряется в Омах и зависит от частоты. Сопоставляя выражения (3.36) и (3.34), приходим к выводу: ток в емкостном элементе опережает по фазе напряжение, приложенное к нему, на 900 . Это положение иллюстрируется на рисунке 3.6, в, г. Анализ выражений (3.36) и (3.38) позволяет сделать и другие выводы: – емкостный элемент оказывает синусоидальному (переменному) току сопротивление, модуль которого Xc обратно пропорционален частоте. – закон Ома выполняется как для амплитудных значений тока и напряжения: Um Im , (3.39) так и для действующих значений: Um I . (3.40) Выразим мгновенную мощность р через i и u : p (3.41) 2 График изменения мощности р со временем построен на рисунке 3.6, д. Анализ графика и (3.41) позволяют сделать выводы: – мгновенная мощность на емкостном элементе имеет только переменную составляющую Um Im sin 2 t U I sin 2 t , изменяющуюся с двойной 2 частотой (2 ). – мощность периодически меняется по знаку – то положительна, то отрицательна. Это значит, что в течение одних четвертьпериодов, когда p 0, энергия запасается в емкостном элементе (в виде энергии электрического поля), а в течение других четвертьпериодов, когда p 0, энергия возвращается в электрическую цепь. Запасаемая в емкостном элементе энергия за время dt равна dW pdt . (3.42) Максимальная энергия, запасенная в емкостном элементе, определится по формуле: (3.44) 3.3 Расчет неразветвленной электрической цепи синусоидального тока Для расчета режима неразветвленной электрической цепи применим комплексный метод. Представим все синусоидальные величины их комплексами: Е & Е e e ; I & I e i ; U & R ; U &L ; U &C . Порядок расчета такой же, как на постоянном токе. Во-первых, стрелками изображаем положительные направления тока, ЭДС и напряжений. Во-вторых, выбираем направление обхода контура по направлению движения часовой стрелки и записываем уравнение по второму закону Кирхгофа: отражают особенности проявления закона Ома для резистивного, индуктивного и емкостного элементов электрической цепи: U &R R I &; U &L I &; U &C I &. Здесь умножение на j означает, что напряжение U & L опережает по фазе ток I & на 900 , умножение на j означает, что напряжение U & C отстает по фазе от тока I & на 900 . Из (3.45) находим комплексный ток в цепи: I & E & . (3.46) неразветвленной цепи (рисунок 3.7,а). Рисунок 3.7 – Расчет неразветвленной электрической цепи синусоидального тока: а) схема электрической цепи; б) векторная диаграмма тока и напряжений; в) изображение комплексных сопротивлений на комплексной плоскости Величина, стоящая в знаменателе, Z , (3.48) называется комплексным сопротивлением (неразветвленной цепи). Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется комплексной проводимостью : 1 Y . Z На рисунке 3.7,б построена векторная диаграмма тока и напряжений неразветвленной цепи для случая: X L XC . Обычно векторная диаграмма строится в конце расчета по полученным значениям тока и напряжений. При этом проверяется правильность расчета. Поделив все составляющие векторной диаграммы на I & , получаем значения комплексных сопротивлений и изображаем комплексные сопротивления R , j X L , j X C , Z на комплексной плоскости (рисунок 3.7, в) получаем диаграмму, подобную диаграмме тока и напряжений. Обратим внимание на “треугольник сопротивлений” (заштрихованная площадь), стороны которого соответствуют сопротивлениям R , X XC и Z . Треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений (рисунок 3.7, б) Анализ диаграммы сопротивлений позволяет перейти от алгебраической формы записи комплексного сопротивления к тригонометрической и показательной формам: полное сопротивление; В зависимости от знака величины X L X C аргумент комплексного сопротивления может быть либо положительным (индуктивный характер), либо отрицательным (емкостный характер). Подставив (3.50) в (3.46) или в (3.47), получим закон Ома для неразветвленной цепи: (3.51) или I & , (3.52) то есть (3.53) При нескольких последовательно соединенных элементах комплексное сопротивление Z R j XL XC R j X , (3.54) где R R - активное сопротивление цепи; X XL XC - реактивное сопротивление цепи. В активном сопротивлении происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии, а в реактивном сопротивлении – не происходит. Полное сопротивление и аргумент комплексного сопротивления можно рассчитывать по формулам: Z ; (3.55) . (3.56) 3.4 Мощность в линейных цепях синусоидального тока В линейных цепях синусоидального тока имеют место три вида мощности: – активная; – реактивная; – полная. Активная мощность – это мощность необратимого преобразования электрической энергии в другие виды энергии в резистивных элементах цепи. В источниках электрической энергии активная мощность Р рассчитывается по формулам: Р U I cos , (3.57) Р ReU & I , (3.58) где U - действующее значение напряжения в ИЭЭ, В; I - действующее значение тока в ИЭЭ, А; U & - комплекс действующего значения напряжения, В; I - комплексно-сопряженное значение тока, А; - угол сдвига фаз между током и напряжением. В резистивных элементах активная мощность определяется как по (3.57) и (3.58), так и по формуле: P R , где R - сопротивление резистивного элемента, Ом; I - сила тока через него, А. В реактивных элементах реактивная мощность Q определяется по формулам: Полная мощность определяется по формуле: ~ SjQ , где I - комплексно-сопряженное значение тока, протекающего через соответствующий элемент, А; U & - комплекс напряжения на этом элементе, В; 4 Трехфазные линейные электрические цепи синусоидального тока Как и в однофазных электрических цепях, в трехфазных электрических цепях основными элементами являются источник электрической энергии (генератор) и приемник (потребитель). 4.1 Трехфазный источник электрической энергии В отличие от однофазного, трехфазный источник электрической энергии имеет не два, а четыре вывода (рис.4.1,а). Рисунок 4.1. - Схема трехфазного источника электрической энергии (а) и векторная диаграмма его напряжений (б). Выводы А,В,С называются фазными , а вывод N называется нейтральным или нулевым. Напряжение между фазными выводами U AB , U BC , U CA называются линейными , а напряжения между соответствующими фазными выводами и нулевым выводом U AN , U BN , U CN - фазными напряжениями. По традиции вместо обозначений UAN ,UBN ,UCN применяются обозначения U A ,UB ,UC . Таким образом, трехфазный источник электрической энергии вырабатывает не одно, а шесть напряжений, причем линейные напряжения по модулю связаны с фазными напряжениями зависимостью Uл 3 Uф , (4.1) где Uл и Uф - действующие значения линейных и фазных напряжений трехфазного источника электрической энергии. Например, при Uл 380 В Uф 220 В, при Uл 220 В Uф 127 В и т.д. Очевидно, что соотношение (4.1) справедливо и для амплитудных значений напряжений трехфазного источника электрической энергии (U тл тф ). Наличие напряжений двух уровней (фазного и линейного), на которые можно переходить путем простого переключения, является преимуществом трехфазного генератора по сравнению с однофазным. Основными частями трехфазного генератора являются статор и ротор . В пазах статора расположены три одинаковые обмотки (катушки) А,В,С , оси которых смещены относительно друг друга на 1200 или 2 /3 рад . Обмотки генератора называются фазами, которые обозначаются соответственно А,В,С . Таким образом, термин «фаза» в электротехнике обозначает в одних случаях аргумент синуса ( t ) , а в других случаях – одну из обмоток трехфазного генератора или только вывод этой обмотки. В каждой обмотке (фазе) статора под действием вращающегося магнитного поля (ВМП) ротора, согласно закону электромагнитной индукции, индуцируются синусоидальные напряжения с равными амплитудами Um и угловыми частотами, но сдвинутые по фазе на угол друг относительно друга: uA Um sin uB Um sin (4.2) uC Um sin где uA ,uB ,uC - мгновенные значения фазных напряжений. Система напряжений, описываемая уравнениями (4.2), называется симметричной , а генератор, вырабатывающий такую систему напряжений – симметричным . Фазные напряжения (4.2) трехфазного симметричного генератора в комплексной форме имеют вид: где U - действующее значение фазного напряжения. На рисунке 4.1,б построена на комплексной плоскости векторная диаграмма фазных и линейных напряжений симметричного источника электрической энергии в соответствии с уравнениями (4.2) и (4.3). Трехфазная система впервые разработана и применена русским инженером-электриком М.И.Доливо-Добровольским в 80-х годах XIX века в Германии. В настоящее время генераторы электростанций всех видов являются трехфазными. 4.2 Анализ электрических цепей при соединении трехфазного источника и приемника по схеме «звезда» с нулевым проводом У источника энергии, выполненного по схеме «звезда» концы фазных обмоток X ,Y,Z генератора соединяются в общий узел в N (рис.4.2). Рисунок 4.2 - Схема электрической цепи при соединении источника и приемника по схеме «звезда» с нулевым проводом Аналогичный узел n образует соединение концов x,y,z трех фаз приемника, а точки N и n соединяет нейтральный провод , в результате чего потенциалы этих точек равны. Остальные три провода, соединяющие выводы генератора А,В,С с выводами приемника а,в,с называются линейными . Таким образом, вместо шести проводов (в случае раздельного питания фаз приемника однофазными источниками) трехфазная система, выполненная по схеме «звезда» с нулевым проводом содержит четыре провода. Следовательно, трехфазная электрическая цепь обеспечивает передачу электрической энергии с меньшими потерями и с меньшим расходом материала проводов при передаче одинаковой мощности. В этом следующее преимущество трехфазных электрических цепей перед однофазными. Линейные токи I & A ,I & B ,I & C в линиях (проводах) A a,B в,C c определяются по закону Ома в комплексной форме: I &A U &A ; I &B U &B ; I &C U &C . (4.4) Z A Z B Z C Ток I & N в нейтральном проводе связан с линейными токами законом Кирхгофа в комплексной форме: I &N I &A I &B I &C . (4.5) Очевидно, что в схеме (рис.4.2) линейные токи I & A ,I & B ,I & C являются одновременно и фазными, т.е. они протекают одновременно в фазах источника и приемника и в соединяющих их проводах (линиях). Приемник с одинаковыми сопротивлениями всех трех фаз (Z a ) называется симметричным .