Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 28
Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет. Кафедра сопротивления материалов и теории упругости. Плоская задача теории упругости Выполнил: Студент гр. 163 А.В.Троханов Проверила: Т.П. Виноградова Н.Новгород 2002 г. Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой 1 см, размеры в плане 20х20 см. Схема закрепления пластины.
Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой Ф (х,у)=а1
х3
у+а2
х3
+а3
х2
у+а4
х2
+а5
ху+а6
у2
+а7
ху2
+а8
у3
+а9
ху3
Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины. Найти общие выражения для напряжений sх
, sу
, tху
(объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины. Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу. Расчет.
Дано
: а3
=1/3, а4
= 1 Е=0,69*106
кг/см2
n=0,33 Решение
: 1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению. Ф(х,у)= Поскольку производные
-бигармоническое уравнение удовлетворяется. 2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю. sх
= sу
= tху
= 3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям.
4.Проверяем равновесие пластины
Уравненения равновесия: Sх=0 -Т5
+Т6
=0 > 0=0 Sy=0 Т4
+Т3
+Т2
-Т1
-N2
+N1
=0 > 0=0 SM=0 M (T4
T3
)=-M(T2
T1
) > 0=0 удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии. 5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А. В этой точке напряжения в основных площадках. sх
=0, sу
=-1,33, tху
=3,33, Найдем главное напряжение по формуле:
smax
=sI
=2,731 МПа smin
=sII
= -4,061 МПа Находим направление главных осей.
6.Определяем компоненты деформации
7.Находим компоненты перемещений
Интегрируем полученные выражения
j(у), y(х) –некоторые функции интегрирования
или
После интегрирования получим
где с1
и с2
– постоянные интегрирования С учетом получения выражений для j(у) и y(х) компоненты перемещений имеет вид
Постоянные с1
, с2
, и с определяем из условий закрепления пластины: Окончательные выражения для функций перемещений u и v
Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках.
Масштаб - длин: в 1см – 2см - перемещений: в 1см - 1*10-4
см
|