Физика (Шпаргалка) Электростатика. Способность к электризации. - способность тел притягивать к себе предметы. Эти тела оказ. заряженными. Q=ne Q - заряд тела n=1,2,... Заряды приобретаемые при электризации всегда кратны е и заряды явл. дискретными. Сущ. три способа электризации тел. 1) Электризация через трение - трибоэлектризаия. 2) Электризация наведением (явление электростатической индукции). 3)Электризация с помощью электритирования. Электрическ. заряды сохр. на заряженных телах различное время в зависемости от способа электризации в1) и 2) - короткое время , 3) - годы и десятки лет. В замкгутой системе электриз тел (нет обмена зарядами с внешними телами) алгебраическая сумма эл. зарядов остается постояной при любых процессах происходящих в этой системе. SQi =const i Точечный заряд это физич. абстракция. Точечным зарядом принято называть заряж. тело розмера которого малы по сравнению с расст. до точки исследования. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные притягиваются. Зак. Куллона. Сила взаимодействия междуточечными неподвиж зарядами q1 и q2 прямопропорцианальны величине этих зарядов и обратнопропорц. расст. между ними. F=k ´ ((q1 q2 )/r2 k=1/4pe0 e0 =8,85´10-12 Ф/M e0 - фундоментальная газовая постоянная назв газовой постоянной. k=9109 M/Ф Зак. Куллона (в другом виде) F=(1/4pe0 )´çq1 q2 ç/r2 вакуум e=1 F=(1/4pe0 )´çq1 q2 ç/er2 для среды e¹1 Если точечн. заряд поместитьв однородн. безгранич.среду куллоновская сила уменьшится в e раз по сравнению с вакуумом. e - диэлектр. проницаемость среды. У любой среды кроме вакуума e>1. Зак. Куллона в векторной форме. Для этого воспользуемся единичным ортом по направлению вдоль расстояния между двумя зарядами. _ _ _ _ er =r/r r =er ´r _ _ F=(1/4pe0 )´(çq1 q2 ç´r)/r3 векторная форма В Си - сист единица заряда 1Кл=1А´с 1Куллон - это заряд, протекаемый за 1 с через все поперечное сечение проводника, по которому течет то А с силой 1А. Зак.Куллона может быть применен для тел значительных размеров если их разбить на точечные заряды. Кулл. силы - центральные, т.е. они направлены по линии соед. центр зарядов. Зак. Куллона справедлив для очень больших расстояний до десятков километров. При уменьш. расст. до 10-15 м справедлив, при меньших несправедлив. Электростатич. поле. Хар. электростатич.поля. _ _ (Е, D, j) В пространстве вокруг эл. зарядов возникает электростатическое поле (заряды не подвиж.). Принято считать, что электростатическое поле является объективной реальностью. Обнаружить поле можно с помощью пробных электрических зарядов. Пробн., полож., точечный заряд должен быть таким, чтобы он не искажал картины иследуемого поля. Напр. электростатич. поля. _ Е - напряженность электростатического поля. Напряженность электростатического поля является силовой характеристикой. _ Напр. поля в данной Е=F/q0 точке пространства явл. физ. вел. численно равная силе (куллоновск.) действ. в данной точке на единичный неподвижный пробный заряд. [E]=H/Кл [E]=В/м Силовая линия - линия, в каждой точке которой напр. поля Е направлена по касательной. Силовые линии строят с опред. густотой соответствующей модулю напр. поля: через площадку 1 м2 проводят количество линий Е равное модулю Е. При графическом представлении видно, что в местах с более густым располож. Е напр. больше. Вывод формул для напр. поля точечн. заряда. q - заряд создающий поле. q0 - пробн. заряд. Е=(1/4pe0 )´(q´q0 )/(r2 ´q0 ) E=(1/4pe0 )´q/r2 Из E=(1/4pe0 )´q/r2 следует что Е зависет прямопропорцианально величине заряда и обратнопропорц. расст. от заряда до т. исследов. В однородн. безгр. среде с e¹1 (e>1) напр. поля уменьш. в e раз. E=(1/4pe0 )´q/er2 _ E=(1/4pe0 )´q2 /r3 Электрическое смещение. _ Опред. формулой для D явл. следущее в данной т. среды электрическое смещение численно равно произвед. диэлектр. проницаемости, эл. постоянн. и напр. поля. _ D­ ­E D=ee0 E [D]=Кл/м2 Напр. эл. поля завсет от e среды поэтому при наличии несколбких граничащих диэлектриков на границе разрыва двух сред напр. поля меняется скачком (линии _ вектора Е терпят разрыв). _ Вектор D не завис. от e среды т.е. явл. однаков. по величине _ во всех средах т.е. скачка D нет , разрыва нет. _ Покажем что D независ от e. D=ee0 ´(kq)/(e0 ´r2 ) D=(1/4p)´q/(e´r2 ) Потенцеал поля. Силы электростатич. поля консервативные т.е. независ. от траэктории движения заряда. _ F=- gradП Fx = -¶П/¶x аналогич Fy и Fz 1) F= - dП/dr Для электростатич. сил F=f(r). Воспользуемся этой зависемостью для введения третей характеристики поля - потенцеала. Преобр. 1) 2) dП= - Fdr F - куллоновская сила взаимодействия между двумя точечн. зарядами q и q0 . F=k(÷qq0 ÷/r2 ) Подставим F в 2) и проинтегрируем лев. и прав. часть. 3) òdП=ò -k(÷qq0 ÷/r2 )dr из 3) П= -k÷qq0 ÷òdr/r2 = =k÷qq0 ÷´(1/r)+C Разделим лев. и прав. часть 4) на q0 . 5) j=П/q0 =(1/4pe0 )´(q/r)+C 6) j=П/q0 Потенцеал поля в данной точке численно равен потенцеальной энерии пробного заряда помещенного в данную точку. [j]=B=Дж/К 7) j=(1/4pe0 )´(q/r) при j=0 r®¥ , j ~ d при r=const , j ~1/r при q=const При q>0 j>0 + При q<0 j<0 - Потенцеал поля принято изображать на рис. эквипотенцеальными линиями или поверх. Эквипотенцеал - геом. место точек равного потенцеала поля. Принято эквипотенцеал проводить при Dj =const Dj=j2 - j1 - разность между двумя ближайшеми эквипотенцеалами. Вывод: _ _ _ _ D=e0 E D­­E E=(1/4pe0 )´(q/r2 ) D=q/4pr2 Картина линий Е эквипотенц. поля точечн. заряда. (для ваку- ума) _ _ Е или D Dj=const _ _ ¾ линии D или Е --- экви. _ _ Нарисуем линии E и D при наличии диэлектрика. Диэлектрк окружен вакуумом. В диэл. e>1 Eд <Eв поскольку eд <eв _ _ Для D линий разрыв. нет т.е. D чертят сплошной линией. Принцип суперпозиции электростатич. полей. _ Принцип суперпоз. для Е. Пусть в пространстве имеется несколько точечн. зарядов q1 , q2 , ..., qi , ..., qn внесем в это поле пробный заряд q0 найдем силу действия наq0 . Согласнопринципу независемости действия сил результ. сила F действ. но q0 равна геом. сумме всех куллоновских сил действ. на q0 со стор. других зарядов. _ n _ F= S Fi 1) i=1 Разделим лев. и прав. часть 1) на q0 . _ n _ _ _ F/q0= S Fi /q0 E=F/q0 i=1 _ n _ F/q0= S E матем запись прин- i=1 ципа супер. для Е. Напряженность результ. поля созд несколькими точечн. зарядами = геом. сумме напр. полей созд. в этойже точке отдельными зарядами. _ Принцип суперпоз. для D. _ n _ D=S Di 3) (аналог 2)) i=1 Для потенцеала. n j =Sj i i=1 Потенцеал результ. поля в данной точке = алгебр. сумме потонц. полей созд. отдельными зарядами. Поля диполя. Эл. диполем - назв. систему двух равных по модулю разноименн. точечн. зар. наход на расст. l друг от лруга значительно < расст. r до исслед. точки. (l <<r) Диполь характеризуется плечом диполя и электрич. моментом. Плечо диполя - расст. между зарядами. Элекрич. момент - произв. вел. заряда на плечо. [p]=Кл´м Вычислим поле в т. А на оси диполя. e=1 , q+ =q_ =q , l , p=ql, E - ? _ _ E=SEi i _ _ E=E_ - E+ E­­E_ E=k(q/(r+l/2)2 ) E=k(q/(r - l/2)2 ) E=kq[(1/(r - l/2)2 ) -1/(r+l/2)2 )] E=[kq(r2 +rl+l2 /4 - r2 + +rl - l2 /4)]/ /r4 =(пренебрег. l/2 т.к. r>>l , r>>l/2)=(kq2rl)/r4 =k(qp/r3 ) E=k(2p/r3 ) E~1/r3 Поле в т. С на перпендик. оси диполя. k, q, l, r>>l, p=ql, e=1 , r=OC E - ? _ ÷E÷=2Пр. Е+ Е+ =Е_ в силу симметрии зар. Е+ =Е_ =k(q/(r¢)2 ) E+ /E_ =cosa=l /2r¢ Пр. Е+ =Пр. Е_ =Е(l /2) E=2Пр. Е+ =2Пр. Е Пр. Е+ =Е+ сosa=(kq/(r¢)2 )´ ´l/2r¢ _ Пр .Е+ /E+ =cos aE+ r¢~r при r>>l E=2(kq/(r¢)2 )´l=kql /(r¢)3 = =kp/r3 (неправильно) E=k(p/r3 ) _ _ Потоки D и Е. Пусть электростатическое поле будет однородно т.е. такое _ поле у котор. D=const и все линии поля ïï по направлению , введ. в это поле плоск. поверхность площадью S, строем нормаль. _ Пр. D=Dn cosa _ поток D FD =Dcosa´S 1) FD =Dn cosa _ _ Потоком D или E назв. физ. вел. числ. = кол - ву. линий _ _ D или Е пронизывающих исследуемую поверхность при _ _ условии D или Е ^ поверхности. FЕ =Еn S 2) [FD ]=Кл [FЕ ]=В´м Поток характеристика скалярная, алгебраическая. При a<900 cosa (+) FD >0 При a<900 cosa (-) FD <0 Запишем общую формулу в случ. когда S имеет произв. форму. В током случае на поверх S наход. участок площадью dS котор. можно считать плоским, тогда dFD =Dn ´dS FD =òDn dS S Площадке dS припис. векторные свойства. _ _ dS=dS´n _ _ FD =ò Dn dS S Теор. Гаусса (интегральная форма). В ряде случаев принцип суперпоз. для вычисления напр. поля применять трудно, в таких случ. напряженность электростатич. поля вычисляют с помощью теор. Гаусса. Теор. Гаусса позволяет легко вычислять Е и D при симметричных расположениях заряда. Поток вектора электрич. _ смещения D cквозь произвольн. замкн. поверх. S равен алгебраич. сумме зарядов заключ. внутри поверх. Замкнутая поверх - такая вкотор нет отверстий. Алгебр. сумма - сумма заряда с учетом их знаков. _ _ n ѓDdS=Sqi 1) S i=1 _ _ ѓEdS=(1/e0 )Sqi 2)(для вакуума) S i Док - во. 1. Пусть имеется полож. точечн. заряд. q . _ _ ѓDdS=ѓDdS S S _ _ D­­n a=0 Dn =D Вынесем за знак интегр. DѓdS=D4pr2 =(q/4pr2 )´4pr2 =q S _ _ 3) ѓDdS=q S Очевидно если точечн. зар. расп. не в центре а в люб. т внутри поверх. S колич. линий _ D прониз. поверх. не измен. , т.е. для люб. положения точечн. заряда q внутри сферы формула 3) справедлива. Поток сквозь поверх. другой формы (произвол.) при прежнем заряде q не изменится и 3) справедлива. Внутри замкн. сферы нах. несколько зарядов q1 , q2 ,q3 , ...,qi ,...qn 1£ i £n Докажем что в этом случ. теор. Гаусса верна. На основ. 1) для кажд зар. теор. справедлива. _ _ 4) ѓDi dS=qi S в 4) просуммируем левую и правую часть. _ _ SѓDi dS=Sqi i i _ _ ѓ(SDi )dS=Sqi s i i _ _ n ѓDdS=Sqi 5) s i Форма записи 5) имеет назв. интегральной формы записи. Интегр. форм. - обознач. что в формуле характеристики слева и справа относятся к разным точкам пространства. r - об. плотность. r =dq/dv (Кл/м3 ) 6)Sqi =òr dv i v _ _ ѓDdS=òr dv S и V - v согласо- ванны. Практич. применение теор. Гаусса. Методика применения теоремы. Дано: Шар , eш ¹ 0 , eш >0 , eш =e , ecp =1 , r =const , R - радиус шара 1) r>R (вне шара) 2) r<R (внутри) Найти Е и D вне и внутри шара). ОА=r 1) Наход. картину линий поля. 2) Выбор замкнутой поверхности удобной для реш. задач. Во всех точках поверх. или к части точек cosa=1. 3) Это замкнутая поверхность должна проходить через исслед. точку. 4) К построенной поверхности строят нормаль. Очевидно что для всех точек поверх a=0 D=const. 5) Вычисляем формально поток (левую часть формулы Гаусса) _ _ n ѓDdS=Sqi S i=1 _ _ ѓDdS=DѓdS=D´S=D´4pr2 (1) S S 6) Вычисляем алгебраич. сумму зар. попавших внутрь поверх. (прав. часть форм.) Sqi =r V=r (4/3)´pr3 (2) 7) Приравниваем (1) и (2) D´4pr2 =r (4/3)´pr3 D=((r R3 )/3)´1/r2 D~1/r2 q=r (4/3)´pr3 D=q/4pr2 Электрич. смещение D и напр. поля Е в люб. точке. вне шара. определ. по тем же формулам что и для точечн. заряда. Рассм. точку внутри шара. 1) _ _ ѓDdS=DѓdS=D´S=D´4pr2 S S 2) Sqi =r V=r (4/3)´pr3 D=4pr2 =r (4/3)´pr3 D=r /3´r D~r Постр. граф. завис. D(r). Dв диэлектр и Dв вакууме - одинаков. Для напр. поля но основ. получ. формулы для D и на основ. связи D=r /3´r E=D/ee0 для А E=(q/4pe0 r2 )=k(q/r2 ) b) для С E=(r /3ee0 )´r a) Найдем знач. Е в точках на поверхности. Воспользуемся а) и b) и подходом к поверхности снаружи и изнутри. 6) ER =q/4pe0 R2 r=R Подходим к поверх. изнутри. 7) ER =(r /3ee0 )´R E=(r 4pR3 )/(3´4pe0 R2 ) 8) E=(r /3e0 )´R Сравнивая 7) и 8) видим что напр. поля не равны. ER ¹ER ER >ER (скачок) вн сн вн сн Завис. Е(r) При eср <eш Методика применения теор. Гаусса универсальна и применима для реш. любой задачи. Применение теор. Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме. 1)Поле равномерно заряж. бескон. плоскости: Бесконечная плоск. заряжена с постоянной поверхностной плотностью +s (s = dQ/dS - заряд приходящийся на единицу поверхности). Линия напряженности перпендикуляр. плоскости и направленный в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основание параллельно плоскости. Полный поток сквозь цилиндр равен сумму потоков сквозь его основания, т.е. равен 2ЕS. Заряд заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности равен sS. Согласно теор. Гаусса 2ЕS=sS/e0 , откуда Е=sS/2e0 . Из формулы видно, что Е не зависит от расстояния. 2) Поле двух бесконечн. параллельных разноименных заряженных пластин. Слева и справа от плоскостей по суперпозиции напряженности равна нулю. А внутри между пластин Е=s/e0 . 3) Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сфера радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +s. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд и по теор. Гаусса 4pr2 E=Q/e0 , откуда E=(1/4pe0 )´Q/r2 (r ³ R) Если r¢<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри сферы электростатич. поле отсутствует, т.е. Е=0. 4) Поле объемно заряженного шара. Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью r (r =dQ/dV - заряд приходящийся на единицу объема). Напряженность вне шара будет как и в 4) т.е. Е=(1/4pe0 )´Q/r2 Внутри же будет другая. Сфера радиуса r¢<R охватывает заряд Q¢=(4/3)p(r¢)3 q. Поэтому по теор. Гаусса: 4p(r¢)2 Е= Q¢/e0 =(4/3)p(r¢)3 ´r e0 , получим: E=(1/4pe0 )´(Q/R3 )r¢ (r¢£ R). 5) Поле равномерно зар. без- кон. цилиндра. Безкон. цилиндр радиуса R заряжен равномерно с линейной плотностью t (t=dQ/dl - заряд, приходящийся на единицу длины). Поток сквозь торцы цилиндра равен 0, а сквозь боковую поверхность 2prlЕ , где l -высота. По теореме Гаусса, для r>R 2plЕ=t(l/e0) , от сюда Е=(1/2pe0 )(t /r) (r ³ R). Если r<R , Е=0. Теор. Гаусса в дифференциальной форме. В случаях неравномер. распред. заряда и не симметр. конфигурациях заряженных тел теор. Гаусса в интегр. форме применять затруднительно. В этих случаях легко реш. задачи с помощью дифференц. формы теор. Гаусса. Пусть заряды в пространстве распред. неравномерно r ¹const В общем случае r =f(x,y,z) Рассм. т. А(x,y,z). В этой т. r (x,y,z). В т. А D(x,y,z) D - смещение в т. А. Для получ. теор. Гаусса в нов. форме воспольз. теор. Гаусса в интегр. форме. для некотор. элементар. обьемного пространства в окрестностях т. А. В виде куба стор. котор. параллельны осям. Предполагаем что внутри DV в окрестностях т. А. r =const _ _ 1) ѓDdS=r DV DV®0 S Нах. предел отношения потока через поверхность куба. на DV при DV®0. _ _ 2) lim ( ѓDdS/DV)=r (в т. А) D V ® 0 S _ _ _ lim ( ѓDdS/DV)=div D D V ® 0 S (дивергенция) В математике показ. что _ div D=(¶Dx/¶x)+(¶Dy/¶y)+ +(¶Dz/¶z) _ _ _ _ _ D=iDx+jDy+kDz divD - скалярная вел. Перепишем 2) в окончательном виде. _ 3) div D= r - теор. Гаусса в дифр. форме. Дивергенция электрическ. смещ. в данной т. поля равна объемной плотности заряда в этой точке. Из 3) очевидно если r >0 _ (+ зар) div D>0 - исток расхождения. Если r <0 ( - зар) _ div D<0 вхождение линий. Из3) важное следствие: Источником поля явл. электрич. заряд. Теор. Остроградскрго Гаусса. Ур. 3) домножим лев. и прав. часть на dV. _ 4) div DdV=r dV проинтегрируем 4) по объему _ 5) òdiv DdV=òr dV v v _ _ òr dV=òDdS v s _ _ _ 6) òdiv DdV=ѓDdS - Остр. Г. v s согласован « В теор. Остр. Гаусса содерж. связь между дивергенцией и потоком одного и того же вектора. Работа сил. электростатич. поля. Потенциал поля. Силы электростатич. поля перемещая электрич. зар. соверш. работу. Вычислим работу сил электростатич. поля для перемещения зар. по произвольной траектории. q - созд. поле. +q0 -перемещ. в поле заряда q. Рассмотрим перемещение заряда на элементар. кчастке dl. 0) dA=Fl dl =Fcos adl =Fdr r - тек. расст. между q иq0 . Найдем полную работу. 2 2 А=òdA=òFdr 1 1 Поскольку F­­dr cosa¢=1 _ _ Fdr=Fdr r 2 _ _ 1) A=òFdr r 1 Воспользуемся для получ. втор. формулы связью между _ _ _ _ _ _ Е и F. E=F/q0 E=q0 E _ _ 2) dA=q0 El dl =q0 Edl = =q0 Ecos adl интегрируем 2) лев. и прав. часть 2 _ _ 3) A=q0 òEdl 1 Получим еще одну формулу. Воспольз. 1) в котор. подставим ур. Fкл . r2 A=òk(q0 ´q/r2 )dr r1 A=q0 ((kq/r1 ) - (kq/r2 )) Из 4) 5) A=q0 (j1 - j2 ) Работа при перемещении зар. q0 электростатич. силами равно произв. вел. этого заряда на разность потенциала в начальной и конечной точке. Из 4) след. что работа сил поля независ. от формы траектор. Силы электростатич. явл. консервативными , поле электростатическое явл. потенциальным полем. Используя 5) дадим второе опред. потенциала. Для этого рассм. перемещение полож. заряда q0 из данной т. в котор. j1 = j в бесконечность j2 =j¥ =0. Из 5) А¥ =q0 j 6) j = А¥ /q0 Потенциал. поле в данн. т. числ. =работе соверш. сила электростатич. поле при перемещении единичного полож. заряда из данной т. в бесконечность. Потенц. скаляр. характеристика. Дж/Км=В Теор. о циркуляции вектора напр.электростатич. поля. Потенциальный характер поля. Рассм. перемещ. зар. q0 в поле заряда q вдоль произвольной замкнутой траектор. А = 0. Возмем для работы форм. 3) _ _ q0 ѓEl dl=q0 ѓEdl =0 L L q0 ¹ 0 _ 1) ѓEl dl=0 - циркуляция Е L _ Циркул. Е в доль произвольн. формы замкн. контура=0. Теор. о циркул. свидетельствует о том что электростатич. поле - потенциальное. Если циркул. не =0 то поле не потенциально. Физ. смысл. циркул. численно равен работе по перемещ. единичн. полож. зар. по замкн. траектории. Лекция. Вычисление разности потенциала по напряж. поля. 2 1)A=q0 òEl dl 1 2)A=q0 (j1 - j2 ) 2 j1 - j2 =òEl dl Связь между 1 разностью потенциала и напряженностью поля. Вычислим разность потенциала для бесконеч. , равномер. заряженной нити с линейной плотностью t . Пример: t =dq/dl [ Кл/м] t 1 , t 2 e =1 (j1 - j2 ) - ? El =Er dl=dr r2 r2 j1 - j2 =òErdr=òEdr r1 r1 E=(t/2pe0 r) напряженность поля в точке на расст. r от нити. 2 j1 - j2 =(t/2pe0 )òdr/r 1 j1 - j2 =(t/2pe0 )´ln(r2 /r1 ) Пример 2: Вычисл. разности потенциала для равномер. заряж. сферы (проводящий шар). Сфера R , q=1 1) r<R 2) r>R Для точек вне сферы (r>R) из теор. Гаусса напряженность Е вычисляется Е=1/2pe0 =q/r2 Внутри (r<R) Е=0 r2 r2 j1 - j2 =òErdr=òEdr= r1 r1 =(q/4pe0 )òdr/r2 =(1/4pe0 )(q/r1 ) - - (1/4pe0 )(q/r2 ) из последнего выражения следует что потенц. поля не определ. как и у точечного зар. котор. нах. внутри. r>R j =(1/4pe0 )(q/r) Внутри напряженность поля =0 поэтому j1 - j2 =0 j1 =j2 =jR =(1/4pe0 )(q/R) j =const Нарис. графики. Связь между напряженностью поля и потенциалом в диффер. форме. Градиент потенциал. Для получения связи между Е и j в одной точке воспользуемся выраж. для элементарн. работы при перемещении q0 на dl по произвол. траектории. dA=q0 El dl В силу потенциального характера сил электростатического поля эта работа соверш. за счет убыли потенциальной энергии. dA= - q0 dj = - П El dl = - dj 3) El = - (dj /dl ) Проэкция вектора напряж. поля на произвольном направлении (l) равна взятой с обратным знаком производной по этому направлению. 4) Ex = - (dj /dx) Ey = - (dj /dy) Ez = - (dj /dz) _ _ _ E= - ( i (¶/¶x)+j (¶/¶y)+ _ +k (¶/¶z))´j _ E= -grad Напряженность поля в данной т. равна взятому с обр. знаком градиенту потенцеала в этой точке. Градиент сколяр. фукции явл. вектором. Градиент показывает быстроту изменения потенцеала и направлен в стор. увелич потенцеала. Напряж. поля всегда перпендикулярна к эквпотенцеальным линиям. Пусть точечный заряд q0 перемещается в доль эквипотенцеала j =const , dl - на эквипотенцеали. dA=q0 El dl dA=0 т.к. Dj =0 El =Ecosa q0 Ecosa dl =0 q0 ¹0 E¹0 dl¹0 cosa=0 a=900 Проводники в электрич. поле. Электроемкость проводников. Конденсаторы. Энергия поля. §1 Условия равновесия заряда на проводнике. Электростатич. защита. Внесем в электрич. поле напряженностью E0 тело. При внесении проводника все электроны окажутся в электростатич поля. В нутри проводника за короткое время призойдет разделение эл. зарядов (электростатич индукция) с накоплением их на концах. _ _ _ E0 - внешнее E' ­¯E0 _ E' внутри проводника _ _ _ _ _ Е=E0 +E'=0 E'=E0 E - результ. поле в нутри проводника. В результате рассмотренныых процессов. Усл. равновес. заряда. 1)Напр. поля во всех точках внутри проводника Е=0 . 2)Поверхность проводника явл. эквипотенцеальной j =const. _ 3) Напр. поля Е ^ эквипот. j =const. В силу Е=0 проводники люб. формы явл. защитой от электростатич. поля. Поле у поверхн. заряж. проводника. Рассм. произаольную форму проводника заряж. по поверх. с поверхностной плотностью s . Воспольз. теор. Гаусса в интегральной форме. _ _ ѓDdS=Sqi s На заряж. поверхности отсечем круг площадью S. ѓe0 EdS=e0 EòdS s s e0 E´S=s´S в т. А E=s/e0 D=e0 E D=s Напр. поля прямопропорц. поверх. плотности заряда проводника в окрестностях этой точке. Разделение зар. по проводнику завис. от его поверх. (у острых углов заряд больше , напряж. сильнее). Электроемкость проводника. Единица электроемкости. Рассм. проводник произв. формы. В близи этого проводника других проводников нет. такой проводник назв. уединенным проводником. Будем заряжать уединенный проводник. При увеличении заряда потенциал прямо пропорционально зависет от Q. Связь между зарядом Q , потенциалом j , и формой проводника дает электроемкость С=Q/j . Емкостью уединенного проводника - назв. физ вел. числ.= величине зар. сообщаемого этому проводнику при увеличении потенциала на 1В. В Си 1Ф - фарад. 1Ф=1Кл/1В Электроемкость зависет от размеров , формы и диэлектрической проницаемости среды. С=4pee0 R j =(1/4pee0 )´(Q/R) Уединенные проводники при приближении к ним других проводников свою емкость существенно меняет (уменьш. за счет взаимного влияния электростотич. полей). Лекция. Конденсаторы. Типы конденсаторов. Конденсатор - устройство позволяющие получать стабильное значение емкости независящее от окружения. Создание закрытого поля не влияющего на металлич. предметы достигается за счет двух металлич. разноимен. заряж. электродов. В зависемости от формы обкладок различают плоские , цилиндрические , сферические конденсаторы. Расчет емкости конденс. разл. типов. 1) Дано: s , ½+ s ½=½ - s ½ , e , S , d C - ? C=q/j уедин. проводника Для конденс. 1) С= q/Dj =q/U Dj =U - напряжние С=sS/Ed=sS/[(s/ee0 )´d]= =ee0 S/d 2) Цилиндрич. конденсатор. R1 , R2 , l , e ½+q ½=½ - q½ +t , - t C - ? Воспользуемся 1) R2 С= tl/(òEdr) E= t/2pee0 r R1 Напряженность поля произвольной точки располож. между цилиндрами на расст. r от оси определяется только зарядами на внутреннем цилиндре (см. теор. Гаусса). Аналогично для тонкой нити. R2 С= tl/(ò(t/2pee0 r)dr= R1 = [tl/(t /2pee0 ´ln R2 /R1 )] 3) C=[tl/(t /2pee0 ´ln R2 /R1 )] емкость цилиндрич. конденс. Сферич. конденсатор. Сферич. конденс. - две концентрические сферы определ. радиуса. Дано: e , R1 , R2 ½+ q ½ = ½ - q ½ C - ? Использ. 1) R2 С=q/= q/Dj =q/(òEdr)= R2 R1 =q/(ò(q/4pee0 r2 )dr) R1 C=q/((q/4pee0 )´(1/R1 - 1/R2 )) C=4pee0 R1 R2 /(R2 - R1 ) Для всех видов конденс. видно что емкость зависит от параметров электродов. Всегда с помещением диэлектрика между электродов емкость увелич. Соединение конденсаторов. Батареи конденсаторов. Конденсаторы часто приходится соединять вместе. Часто возник. необходимость соед. их в батареи (когда нужно иметь другую емкость). 1) Последовательное соед. - соед. при котор. отрицательные электроды соед. с полож. У последовательно соед. Конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю , а разность потенциалов на зажимах батареи n Dj =åj i i=1 Для любого из рассматриваемых конденс. Dj i =Q/Ci С другой стороны , n Dj =Q/C=Qå(1/Ci ) i=1 Откуда n 1/C=å1/Ci i=1 2) Параллельное соед. - соед. при котор. соедин. между собой обкладки одного знака. n С=åCi i=1 У параллел. соед. конденсоторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна j а -j b . Если емкости конденсаторов С1 ,С2 , ..., С3 то их заряды равны Q1 =C1 (j а -j b ) Q2 =C2 (j а -j b ) а заряд батареи конденсаторов n Q=åQi =(C1+C2+...+Cn)´ i=1 ´(j а -j b ) Полная емкость батареи n С=Q/(j а -j b )= åCi i=1 Энергия заряженного проводника и конденсатора. Рассм. уедин. проводник произв. формы. Проведем зарядку этого проводника , при этом подсчитаем работу внеш. сил. Пусть при перенесении dq из ¥ , проводник приобрел потенциал j . Элементар. работа dA=j dq. Допустим зарядили до Q . С=q/j j=q/C Вся работа совершаемая при зарядке проводника до Q равна. 1) A=Q2 /2C 2) A=Cj2 /2 3) A=Qj/2 В окружающем пространстве после зарядки проводника возникло электростатическое поле, значит работа при зарядке проводника расходуется на создание поля. Значит работа переходит полностью в энергию электростатич. поля. Wэл =1) или 2) или 3) Из 1) , 2) ,3) не следует ответа что энерг. Wn локализована в самом поле поскольку в формуле стоят параметры заряж. проводника. Конденсатор. Рассм. зарядку конденсатора состоящего из двух обкладок Первый путь - dq перенос. из ¥ на одну из обкладок , тогда на второй обкладке возникнет -. Второй путь - элементарн. заряд dq перенести из одной обкладки на вторую. Независимо от способа формулы 1) , 2) , 3) справедливы (только j изменяется на Dj). Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии. Носителем энергии явл. само поле. Для подтверждения этой идеи возьмем формулу 1). Wэл =Q2 /2C применим ее к плоск. конденсатору. (параметры известны). Wэл =s2 S2 d/2ee0 S=(s2 /2ee0 )´Sd= =(ee0 s2 /2(ee0 )2 )´V 1) Wэл =(ee0 E2 /2)´V Из 1) следует что носителем энергии явл. поле с напряженностью Е. Из 1) следует что все стоящее перед объемом - это объемная плотность энерг. электростатического поля. 2) wэл =(ee0 E2 /2) 2') wэл =DE/2 В физике доказывается что 2) и 2') можно применять и для неоднородного поля, для котор. полная энерг. может быть вычесленна по формуле 3) Wэл =òwэл dV v Лекция. Диэлектрики в эл. поле. Поляризация диэлектриков. §1 Проводники и диэлектрики. сущность явл. поляризации. У проводников электроны могут свободно перемещаться по всей толще образца. явл. эле- ктростатич индукции Диэлектрики - вещества плохо или совсем непроводящие эл. ток. В диэлектрике свободные заряды отсутствуют. У диэлектрика очень большое сопротивление. Во внешнем поле у диэлектриков происходят очень существенные изменения. Заряды находящиеся в атоме во внешнем поле Е0 смещаются или пытаются сместиться. Диэлектрик во внеш. эл. поле поляризуется. поляризуется При поляризации диэлектрика Е¹0. У диэлектрика во внеш. эл. поле на поверхности образца появл. связнные некомпенсированные поляризованные заряды. Явл. поляризации заключ. в появлении электрич. поля Е при внесении во внеш. поле Е0 появл. связанных поверхностных зар. и появлении в толще образца , в каждой единице объема дипольного момента. Диполь во внеш. эл поле. Рассм. электрический диполь образованный зарядом q. _ Электрич. момент p=ql , где l- плечо диполя. Вносим диполь во внеш. поле. _ Е=const ½+q½=½-q½=q Запишем силы действующие на заряд. _ _ На +q - F+ , на -q - F_ _ _ _ ½F+ ½=½F_½=½F½=F На электрич. момент действ. пара сил , при этом возник вращающий момент М. М=Fd=Flsina=Eqlsina= =Epsina d - плечо силы _ M=[P,E] -вращ. момент (сколяр. произв.) В однородн. эл поле электрический диполь поворачивается до тех пор пока эл. момент не станет направлен по внеш. _ _ полю P­­E т.е. эл. диполь в полож. устойчивого равновеия. В неоднородном эл. поле диполь наряду с поворотом испытывает поступательное движ. в область неоднородного поля. Типы диэлектриков. Виды (механизм) поляризации диэлектриков. В зависимости от структуры молекул различ. два типа диэлектриков поляр. и неполяр. неполяр. полярные O2 , H2 , CO ... HCl ,...,CO2 Симметрич. Не симметри- структура ма- чная структу- лекул. ра. Без внеш. поля. (Е0 =0) В О центры Центры тяж. тяж. (+) и (-) не совпадают совпадают. _ _ Pi =0 Pi ¹0 åPi =0 åPi =0 i i В силу хао- тич. движ. диполей. У неполяр. диэл. в отсу- тств. внеш. по- ля малекулы не имеют собств. эл.моментов. (диполей нет) Во внеш. поле _ Pi ¹0 Ориентация _ диполи по Pi ¹0 внеш. пол. Е0 åPi ¹0 åPi ¹0 i i диполи Поляризация в завис. от вида механизма назв. Диформацион- Ориентаци- ная (электрон- онная поля- ная). ризация. Независимо от вида поляризации у любого поляризованного диэлектрика появляется в эл. поле суммарный электрический дипольный момент. Поляризованность. Вектор поляризованности. Связь его с поверхностными зарядами. Явл. поляризации описывается с помощью важной характеристики поляризованностью или вектора _ поляризации Ю. Поляризованностью диэлектрика назв. физ. вел.численно равную суммарному электрическому (дипольному) моменту молекул заключенных в единице объема. _ 1) Ю=åPi /DV i в числителе суммарный момент всего образца , DV - объем всего образца. В Си[Ю]=Кл/м2 _ _ 2) Ю=жe0 Е ж -диэлектрическая восприимчевость вещества. ж>0 ж>1 Из 2) ж -const Покажем что вектор поляризации равен (для точек взятых внутри диэлектрика). Ю= s ' Пусть во внеш. поле Е0 нах. массивный образец. DV=Sl Независимо от способа поляриз. справа будет +s ' , справа -s '. _ åPi =ql=Ss 'l= i Ю=s 'Sl/Sl =s ' Эл. поле внутри диэлектрика. Вектор эл. смещения. Рассм. поляризацию однородного , изотропного диэлектрика (ж -const) внесенного во внеш. однородное поле поле Е0 образованное плоским конденс. На образце появятся поверхностные связанные заряды. + s ' , - s '. _ Связ заряды созд. поле Е' _ напр противополож. Е0 . _ _ _ Е=Е0 +Е' Е= Е0 +Е' Е=Е0 - s '/e0 =E0 - жe0 E/e0 E+жE=E0 (1+ж)= E0 1+ж=e E=E0 / e - напряженность поля в диэлектрике внесенного во внеш. поле Е0 . Напряженность поля в диэлектр. Уменьшется в e раз при условии что s на обкладках конденс. остаются постоянными. Если диэлектрик вносится в плоский конденс. подключенный к источнику напряжения , напряженность остается =Е0 . eЕ=Е0 ee0 Е=e0 Е0 D0 =e0 Е0 D=D0 =s В таком случае эл. смещение одинаково в вакууме и в диэл. Лекция. s =const E=Е0 /e0 E созд. всеми видами зарядов как свободными так и связанными. D = D0 диэл в возд U=const s =const Е0 =E D=eD0 Связь между связанными и свободными и свободными зарядами ( s и s ' ). Связь между s и s' устанавл.на основании выраж. для напряж. поля. Е= Е0 - Е' Е0 /e=Е0 - Е' s/e0 =s/e0 - s '/e0 s/e= s - s' s'=(e - 1/e)´s _ _ _ Связь между Е , D , Ю. _ _ D= e0 eE=(1+ж)´e0 E= _ _ =e0 E+жe0 E0 _ _ D=e0 E+Ю - связь Теор. Гаусса при наличии диэлектриков. Для воздуха и для вакуума две равные теор. Гаусса. 1) ѓDn ds=åqi S i 2) òe0 En ds=åqi i 1)=2) При наличии деэлектриков значимость 1) и 2) различна. В формуле 2) при наличии диэлектрика в прав. часть надо добавить алгебраич. сумму всех связанных зарядов 2)' òe0 En ds=åqi + i +åqi ' i Вел. связанных зарядов зависет от Еn . Поток вектора эл. смещения сквозь произвол. замкн поверх. равен алгебраич. сумме всех свобод . зарядов заключ. внутри поверхности. ѓDn ds=åqi - теор. Гаусса S i при наличии диэлектрика. Явление на границе двух диэлектриков . Граничные условия. Закон преломления линий поля. До сих пор мы рассм. диэл. вносимый в поле так что поверхность его совпадала с эквипотонц. поверх. , а линии _ _ Е и D были ^ поверхности. _ _ Каково направление Е и D _ _ если Е и D не ^ эквипотонц. поверх. Для построения картины поля внитри диэлектрика нужно знать граничные условия. Граничные условия для нормальных составляющих _ _ Е и D. Рассм. границу раздела двух диэлектриков. Псть у 1) - e1 2) - e2 e2 > e1 Пусть на границе раздела _ двух диэлектрикриков D направлен под углом a. _ _ Расскладываем D1 и D2 на состовляющие нормальную к поверхности и танген-циальную. _ _ _ D1 =D1n +D1 t _ _ _ D2 =D2n +D2 t Для применен. Теор. Гаусса надо построить замен. поверх. Нухно выбрать цилиндрич поверхн. Найдем поток вектора эл. смещения через замкн. поверх. ФD =D2n DS - D1n DS Найдем алгебр. сумму зар. попавших внутрь. D2n DS´D1n DS=0 DS¹0 1) D2n =D1n Cогласно связи. e2 e0 E2n = e1 e0 E1n 2) E1n /E2n = e2 /e1 2) - втор. гранич. усл. показ. каково повидение Е на грпнице: En на границе раздела двух диэл. изменяется скачком. Граничные условия для тангенц. состовляющей. Для получ. этих гранич. усл. воспольз. теор.о циркуляции вектора напряженности электрич поля. ѓЕl dl=0 L Нужно построить четеж для _ Е аналогично рис 1. _ _ _ _ (1) - Е1 ® Е1 =E1n +E1 t _ _ _ _ (2) - Е2 ® Е2 =E2n +E2 t Для применения теор. о циркул. нужно выбрать замкн. контур. В качестве замкнутого контура выбираем прямоугольник стороны котор. ½½ границе раздела , высота h®0. АВ=CD=а Направление обхода по часовой стрелке. ѓЕl dl=0 L=ABCD L В каждой точке на расст AB E1 t ½½ этому участку. Поэтому циркуляция E1 t на AB равна B D ѓЕl dl=E1 t òdl - E2 t òdl=0 L A C E1 t a - E2 t a=0 a¹0 3) E1 t =E2 t У вектора напряженности поля при переходе через границу раздела двух диэлектриков не меняется тангенциальная состовля-ющая. D1 t /e1 e0 =D2 t /e2 e0 Используя 3) и связь между _ _ D и E получим: 4) D1 t /e1 e0 =D2 t /e2 e0 - 4-ое условие . На границе раздела двух диэлектриков тангенц. _ сoставл. D изменися. 1,2,3,4 - условия позволяют правельно построить картину линий поля. Закон преломления линий поля. tga2 =D2 t /D2n tda1 =D1 t /D1n tga2 /tga1 = D2 t ´D1n / D2n´D1 t = =D2 t /D1 t = e2 /e1 5) tga2 /tga1 =e2 /e1 - зак. преломления линий поля. Угол больше в той среде где e больше. Из 5) следует гуще линии поля располож. В диэлектрике где e больше. e2 < e1 Построить картину линий поля. Активные диэлектрики. (диэлектрики с особыми поляризационными свойства-ми.) Мы рассматривали поляриза-цию однородных , изотроп-ных диэлектриков. _ _ Ю=жe0 Е ж=const При Е=0 у большенства диэл. Ю =0. (поляризация исчезает) Сущ. диэлектрики с нелинейной зависемостью. _ _ Ю от Е. _ _ Ю ¹жe0 Е 2) Ю = f(E) Это первый тип диэл. с особыми свойствами предста-вляет собой класс сигме-нтодиэлектриков. У сигментодиэлектриков 2) представляет собой петлю гистерезиса. Петля гистерезиса 1,2,3,4,5,6,1 Область 0,1 - область первич- ной поляризации. _ _ При уменьшении Е вектор Ю убывоет по кривой 1,2,3. _ При Е=0 в диэлектрике сох- раняется остаточная поляри- _ зация Ю 0 . _ Ю =0 в т. 3 т.е. при внеш. поле обратного направления. Лекция. Постоянный ток. Проводимость металлов и газов. Электрический ток - направленное движение зарядов. Носители заряда - заряды создающие ток. В электролитах - ионы металлах - электроны газах - ионы и электроны. Проходимостью тока - назв. прохождение зарядов через вещество. Типы проводимости - ионная , электронная , смешанная. Независимо от вида проводимости для тока приняты следующие характеристики: 1) I - сила тока. 2) j - плотность тока. Сила тока - физ. вел. численно равная заряду переносимому через поперечное сечение проводника за 1 с. (скалярная вел.) [ I ]=A (1) I=q/A 1А = сила тока при прохождении которого через поперечное сечение проводника в 1 с переносится заряд в 1 Кл. А - четвертая основная единица в Си. Направлением тока считают направление положительных зарядов. Если сила тока постоянна и направление постоянно , то говорят о постоянном токе. (1) - справедлива для постоянного тока. Если сила тока меняется со временем то (1) запис. следующую 2) i=dq/dt. На основании (2) можно получить кол- во заряда переносимого через поперечное сечение проводника за единицу времени dq=idt. t 3) q=òi(t)dt 0 Плотность тока - векторная характеристика. По определению постоянного тока плотность тока равна _ 4) ½j½=I/S^ S^ - ^ току Плотность тока - физ. вел. численно равная заряду переносимому за 1с через единичную площадку поперечного сечения расположенного ^ току. Если ток меняется 5) j=di/dS^ формула 5) дает возможность находить силу тока. 6) di=jdS^ =jn dS интегрируем лев. и прав. часть. _ _ 7) i=òjn dS =òjdS S S Из 7) следует что сила меняющегося тоеа численно = потоку вектора плотности тока через площадь поперечного сечения. Единицей плотности тока явл. А/м2 . Связь между плотностью тока и скор. направленного движения носителей тока. В любом веществе проводящем ток носители тока учавствуют в непрерывном чаотич. движ. uт =<u>c р uт - тепловая скор. Направленное движ. это движение которое налагается на хаотич. тепл. движ. и вынуждает носителей двигаться в определенном направлении. <u>c р - ср. знач. скор. направленного движ. Плотность тока явл. функцией. j=f(n, qэл , <u>)