Поля и Волны Лекция 7 Плоские электромагнитные волны 7.1. Понятие волнового процесса. 7.2. Плоские волны в идеальной среде. 7.3. Плоские волны в реальных средах. 7.4.Распространение волнового пакета. Групповая скорость. 7.5. Поляризация ЭМВ. 7.1. Понятие волнового процесса. Мир, в котором мы живем, - мир волн. Чем характеризуется мир волн, волновых процессов ? Волновой процесс имеет следующие характерные признаки: Волновой процесс всегда переносит энергию и импульсы. Нас интересуют волновые процессы ЭМВ. Конечная скорость всех волновых процессов. В случае ЭМВ - это скорость света. Независимость волновых процессов друг от друга. В этой комнате существуют поля самых разных частот, поля р/станций, света и т.д. Волновые процессы, различные по физической природе, описываются одним и тем же математическим аппаратом. Под волновым процессом понимают возмущение некоторой величины в пространстве, перемещающееся с конечной скоростью, переносящее мощность без переноса вещества. 7.2. Плоская ЭМВ в идеальной среде. Под плоской ЭМ волной понимают волновой процесс, у которого составляющие электрического и магнитного полей изменяются в одинаковой фазе в плоскости перпендикулярной направлению распространения.   (7.2.1.) rot H = j a E  Используем для анализа    1 - е и 2 - е уравнения (7.2.2.) rot E = - j a H  Максвелла Источники, создающие плоские волны не входят в эти уравнения. Мы рассматриваем волновые процессы в дальней зоне, т.е. в пространстве за пределами   зарядов и токов. Решим уравнения относительно Е и Н.  Из уравнения (7.2.1.) выразим Е и подставим в (7.2.2.):   E = ( ) rot H   ( ) rot (rot H) = - ja H    rot rot H = grad div A - 2 H    grad div H - 2 H = 2 aa H  т.к. div H = 0 - четвертое уравнение Максвелла   2 H + k2 H = 0 однородное волновое ур-е Гельмгольца (7.2.3.) k2 = 2aa Точно так же из второго уравнения получаем  уравнения для вектора Е:  2 E + k2 E = 0 - однородное волновое ур-е Гельмгольца (7.2.4.) В развернутом виде запишем уравнения: ( ) +( ) +( ) + k2 H = 0 (7.2.5.) Решать такое уравнение трудно. Предположим, что источник ЭМ колебаний находится очень далеко от той области, где рассматриваем волны. r1  r2  r3 т.к. источник очень далеко, то расстояния до точки можно считать одинаковым. Из физического смысла задачи, можно утверждать, что изменения полей по координате y, х нет, т.е.: = = 0 ( ) + k2 H = 0 (7.2.6.) Для плоской ЭМВ волновое уравнение упрощается. Решение уравнения: H(z) = A e - jkz + B e jkz  в обычной форме H(z,t) = e jt (A e - jkz + B e jkz)  если поле зависит от времени.   H(z,t) = h  означает, что поле векторное.   H(z,t) = h [A e j(t-kz) + B e j(t+kz)] (7.2.7.) Выделим составляющую поля c амплитудой А:   Ha(z,t) = h A e j(t-kz) - в комплексной форме. (7.2.8.) Выделим из комплексного выражения действительную часть:   Haреал(z,t) = Re Ha(z,t) = h A cos(t - kz) (7.2.9.) z1 z2 Фотография процесса в момент времени t = t1, t = t2. С какой скоростью перемещается фронт с одинаковой фазой ? Выясним это: Ф1 = t1 - kz1 ; Ф2 = t2 - kz2 (7.2.10.) Прибор регистрирует одинаковую напряженность, надо потребовать, чтобы Ф1 = Ф2 t1 - kz1 = t2 - kz2 k (z2 - z1) =  (t2 - t1) = Vф - называется фазовой скоростью волны. k =   a a Vф = - зависит от свойств среды, где распространяется ЭМВ. 0 = 8,85*10 –12 , 0 = 4*10-7 , V = 3*108 (7.2.11.)  - называют пространственную периодичность волнового процесса.  - это длина пути, которую проходит фронт с одинаковой фазой за период, или- это есть расстояние, которое проходит фазовый фронт за 1 период. в т. Z1 Ф1 = t - kz1 в т. Z2 Ф2 = t - kz2 Ф1 - Ф2 = 2 z2 - z1 = =  k = - волновое число Vф = = f   если в вакууме, то Vф = c Vф = f  (7.2.12.) Выясним связь напряженностей Е и Н в ЭМВ:   rot H = j  a E   rot E = - j  a H Спроектируем уравнение на оси координат: . . .  i j k rot H = Hx Hy Hz -( ) = ja Ex = ja E; 0 = ja Ez  Ez = 0 -( ) = - ja Hx , 0 = - j aHz = - j a Hy , Hz = 0 (7.2.13.) В ЭМВ отличны от нуля только две составляющие в плоскости  плоскости распространения: -( ) = jaEx j k Hy = ja Ey (7.2.14.) Это лишний раз подчеркивает, что сферические волны излучателя в дальней зоне превращаются в плоские ЭМВ.   Ориентация векторов Е и Н.   Для плоской ЭМВ Е всегда  Н.  Покажем, что величина Е Н = 0:   E H = E H cos (E H) = 0 (i Ex + j Ey) (i Hx + j Hy) ExHx + EyHy­ = Zc HyHx - ZcHxHy = 0 Ex = Zc Hy ; Ey = - Zc Hx   E  H всегда в плоской ЭМВ   H = y0 A e j(t-kz) общая запись   плоской ЭМВ. H = x0 A Zc e j(t-kz) (7.2.15.) Поскольку в рассматриваемой задаче рассматривается только один источник, то учитываем только волну с амплитудой А. В пространстве имеются   2 взаимно перпендикулярных поля ( Е и Н). Как определить направление переноса энергии ?    Пср = ( ) Re [E H*] Итоги:   Составляющие Е и Н лежат в плоскости перпендикулярной направлению распространения и изменяются в фазе (там где max Е там max Н, и наоборот) Отношение = Zc определенная величина в случае вакуума Zc = 120 . Плоская ЭМВ однородная. Амплитуды Е и Н не зависят от поперечных координат. У плоской ЭМВ Ez = 0 , Hz = 0. 7.3. Плоские волны в реальных средах. Предыдущий анализ относился к идеальным средам. В реальных средах часть энергии будет теряться в среде, значит амплитуда волны будет убывать. Любая реальная среда - набор связанных зарядов (диполей), могут быть и свободные заряды. Часть энергии переходит в тепло. Количественно опишем процесс. В реальных средах, при гармонических воздействиях проницаемости величины комплексные:  = `a - j a``  = a` - j a`` (7.3.1.) Все рассуждения и результаты сохраняют силы, но параметры а а - комплексные. Амплитудные соотношения. С этой целью рассмотрим, что представляет собой волновое число в реальной среде: ____ _________________ k =   aa =   (a`- ja``)(a`- ja``) =  - j (7.3.1.) поскольку величины а и а - комплексные, то k - тоже величина комплексная. К каким последствиям это может привести ? Рассмотрим волновой процесс:    H (z,t) = y0 A e j(t-kz) = y0 A e t-(jz) =  = y0 A e   e j(t- (7.3.3.) Параметр  получил название коэффициента затухания.  - фазовая постоянная - вещественная часть волнового числа. Vф =  /  в реальных средах (7.3.4.) Понятие  было введено для идеального диэлектрика. Если затухание мало, то можно выбрать точки, где поля отличаются по фазе на 2 и считать, что это . Если затухание очень велико, периодичность процесса теряет смысл (соленая вода), понятием  можно пользоваться условно. Количественная оценка. Рассмотрим поведение амплитуды в точках: в т. Z1  H(Z1) = A e - 1 в т. Z2  H(Z2) = A e - 2 Изменение a = 20 lg ( ) = 20 lg ( ) = = 20 lg e 2- 1 = 20  (Z2 - Z1) lg ℓ Z2 - Z1 = ℓ a = 8,69  l [дБ] (7.3.5.) во столько раз, пересчитанных в дБ уменьшилась амплитуда поля . Под глубиной проникновения поля понимают расстояние, на котором амплитуда поля убывает в е раз   (вектор Е и Н). Изменение поля Н = A e - . На расстоянии равном глубине проникновения в точке Z = 0, Н1 = А в т. Z = 0 H2 = A e -  = е = е -  ;  0 = 1 0 = (7.3.6.) Фазовые соотношения Воспользуемся понятием “характеристическое сопротивление cреды” ____ ________________ Zc =  = a` - ja``/ a`- ja``=Zc e j (7.3.7.) в реальных средах Zc величина комплексная. Поведение   Е и Н в реальной среде:   H(z,t) = y0 A e -  e j(t-   E(z,t) = x0 A Zc e -  e j(t- =  = x0 A Zce -  e j(t-   (7.3.8.) Модуль характеристического сопротивления означает отношение амплитуд между электрическим и магнитным полями, а фаза характеристического сопротивления показывает величину сдвига фаз между     Е и Н. В реальных средах всегда Е и Н сдвинуты на некоторую величину. Волновой процесс в реальных средах Расчет коэффициента затухания и фазовой постоянной в реальной среде Проведем расчет для частного случая, широко используемого на практике. Реальная cреда не магнитный диэлектрик. a = a`- ja`` ; a = a`- j0 =  (7.3.9.) (почва, вода) Порядок расчета: 1) Из общих выражений для k: ____________ k =  - j =   (a`- ja``) a` (7.3.10.) Выделим вещественную и мнимую часть. Для этого левую и правую часть возведем в квадрат, т.к. надо избавиться от радикалов: 2 - 2 j - 2 = 2a`a ` - j2a``a` Два комплексных числа тогда равны, когда равны и вещественные и мнимые части.  2 - 2 = 2 a`a`   2  = 2 a``a` 2 a`a` = q - обозначим 2 a``a` = 2 a`a = q tg  = tg  (7.3.11)  2 - 2 = q ;  =   2  = q tg 2 - ( ) tg2 - q = 0 4 - q2 - ( ) tg2 = 0 2 = Какой знак взять + или - ? Исходя из физического смысла оставляем только +, т.к.  - будет отрицательная. 2 = (1 +  1 + tg2 )  =   (  1 + tg2 + 1) (7.3.12) для  решение аналогичное:  =  (7.3.13) Выводы: 1. По определению Vф = Vф = tg  = Vф зависит от частоты. Встретились с явлением дисперсии. Зависимость Vф от f называется дисперсией. Идеальная среда не обладает дисперсией.  = 0 - идеальная среда   0 - реальная Рассмотрим поведение ЭМВ в двух случаях: 1) Среда с малыми потерями, малым затуханием: tg  << 1 _____  =   a`a` (7.3.14.)  совпадает с волновым числом для идеального диэлектрика с параметрами а, а. Для : ________  1 + tg2  1 + ( ) tg2 - разложение в ряд _____  1 + x  1 + x2  =  tg  =( )  a`a` чем > tg , тем > . (7.3.15) 2) Среда с большими потерями. tg  >> 1  =  tg   =   =  =  tg  =  =  = (7.3.16.) 0 = Пример: Определить во сколько раз уменьшается амплитуда волны на расстоянии равном длине волны (в среде с большими потерями). e  = e = e  = e  = 540 раз 7.4. Групповая скорость плоских волн Все реальные сообщения занимают определенный спектр частот и возникает вопрос, какой реальный сигнал передается ?   1 2 3 В реальных средах, каждая гармоническая составляющая передается со своей скоростью 1 2 3. С какой скоростью передается сигнал ? Рассмотрим простой случай, когда сообщение состоит из двух гармонических сигналов: 1 = A cos (1t - k1 Z) 2 = A cos (2t - k2 Z) (7.4.1.) Рассмотрим сложение двух сигналов:  = 1 + 2 = A [cos (1t - k1 Z) + cos (2t - k2Z)]  = 2A cos ((1 - ) t - (k1 - ) Z) * *cos ((1 + ) t - (k1 + ) Z) =   = 0 =  k = k0   << 0  k << k0  = 2 A cos ( t -  k Z) cos (0t - k0Z) (7.4.2.) ----------------------- ------------------- описывает медленно описывает быстро изменяющийся волновой процесс. При оценке скорости реальных сигналов, специалисты рассматривают скорость переноса max энергии. Рассмотрим с какой скоростью изменяется в пространстве фронт max амплитуд. в т. Z1 , t1  Ф1 =  t1 -  kZ1 , в т. Z2 , t2  Ф2 =  t2 -  k Z2 Ф1 = Ф2   t1 -  kz1 =  t2 - k Z2 k (Z2 - Z1) =  (t2 - t1) =Vгр = Vгр  (7.4.3.) Vгр по физическому смыслу характеризует скорость перемещения огибающей сигнала. С движением огибающей связано перемещение энергии, поэтому с групповой скоростью связано перемещение энергии: Vгр  c Vф >< c Vф связана с изменением состояния, а не с переносом энергии. Vф - скорость изменения состояния фазового фронта. П ример: Лампочки последовательно загораются, изменение скорости состояния загорания может сколько угодно большой. 7.5. Поляризация плоских электромагнитных волн Под поляризацией будем понимать заданную в   пространстве ориентацию вектора Е или Н. Различают 3 вида поляризации: линейную (вектор Е и Н ориентирован всегда вдоль одной линии прямой),   круговую поляризация (вектор Е или Н вращается по кругу), эллиптическую поляризация (вектор Е или Н вращается по эллипсу). Возьмем два ортогональных колебания: Ех = А cos (t - kz) Ey = B cos (t - kz + ) (7.5.1.)  - показывает сдвиг во времени, они не совпадают по фазе. Что получится в результате сложения двух ортогональных колебаний ? 1) А  В амплитуды разные, а сдвиг фаз равен 0. y ( = 0) _____ ___________ в E =  E2x + E2y =  A2 + B2 cos (t-kz)   = arctg = arctg ( ) (7.5.2.) Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний, изменяющихся в одной фазе, но с разной амплитудой дает линейно- поляризованное колебание ориентированное под некоторым углом. 2) А = В ;  =  (/2) Два ортогональных колебания по определению:  = arctg ( ) = arctg = = arctg  tg (t - kz) =  (t - kz) Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний изменяющихся с одинаковой амплитудой и фазой со сдвигом  /2 дает вращающее колебание (колебание с круговой поляризацией). ___________ _____________________________ E =E2x+E2y=A2cos2 (t - kz) + A2sin2 (t - kz) = A E = A Направление вращения определяется опережением или отставанием по фазе. 3) В общем случае, когда А  В, и фазы разные, вектор   Е или Н вращается по эллипсу. Любую волну с линейной поляризацией можно представить в виде двух волн с круговой поляризацией, имеющих разное направление. 1 2 3 4 5 Явление поляризации широко используется на практике. Все приемные устройства (служебная связь - вертикальная поляризация, в России прием ТВ на горизонтальную поляризацию, вертикальная поляризация - режим передачи, горизонтальная - режим приема. Круговая поляризация широко используется в радиолокации. 17 Лекция 1 Основы теории электромагнитного поля. 1.1. Информативность различных диапазонов волн. 1.2. Диапазон сверхвысоких частот (СВЧ). 1.2.1. Особенности СВЧ диапазона. 1.3. Поля или цепи ? Условие квазистационарности. 1.4. Векторные характеристики электромагнитного поля. 1.5. Материальные уравнения среды. 1.6. Методы описания физических явлений и расчета устройств СВЧ. 1.1. Информативность различных диапазонов волн. В последнее время все большее количество людей переходят из сферы материального производства в сферу обработки, хранения и передачи информации. Информацию можно излучать, либо передавать по кабельным линиям, волноводам, световодам и т.д. Количество информации непрерывно растет. Ограничением является количество каналов. Любой канал может передать только определенную информацию. тф музыкальная передача газета ТВ 20кГц f 240 МГц 6 МГц Рассмотрим диапазоны метровых волн (КВ).  = 10  100 [м], f = 30  3 [МГц], f = 27 Мгц. Если в этом диапазоне вести телевидение, то можно организовать четыре канала или 6000 телефонных каналов. Диапазон УКВ.  = 1  10 [м], f = 300  30 [МГц], f = 270 Мгц число телевизионных каналов - 40 число телефонных каналов - 6*104 Сантиметровый диапазон:  = 1  10 см, f = 30  3 ГГц, f = 27 ГГц  nтелев. = 4000, nтелеф. = 6*106 Миллиметровый диапазон  = 1 10 мм, f = 30-300 ГГц, ∆f  270 ГГц, nтв  4 . 104, nтф = 6 . 107 Если посмотреть на оптический диапазон  = 0,3  3 мкм, f = 105 – 106 ГГц, f = 9 . 105 ГГц. nтв  1,5 . 108, nтф  2 . 1011, то можно удовлетворить все потребности технического прогресса. С ростом частоты увеличивается информативность. Наращивание каналов связи - это освоение более высокочастотных диапазонов. 1.2. Диапазон сверхвысоких частот (СВЧ) Диапазон СВЧ : 1 ГГц - 100 Ггц 1 ГГц = 109 Гц 1.2.1. Особенности СВЧ диапазона. Остронаправленность излучения при сравнительно небольших размерах излучателей. Большая информативность. Квазиоптический характер распространения волн. 1.3. Поля или цепи ? Условие квазистационарности. Аппарат теории цепей есть, он могучий. Зачем нужна теория электромагнитного поля? Противопоставлять теорию цепей и теорию поля нельзя. В одних условиях лучше одна теория, в других другая. Рассмотрим простейшую схему. ℓ Вопрос: Какие показания будут давать амперметры ? Одинаковые или нет в любой фиксированный момент времени? Ответ: Да, если Т >> tзап. Запаздыванием процесса колебании от одной точки к другой можно пренебречь. Т - период колебаний источника; tзап - время запаздывания при распространении сигнала в цепи. Предположим l - линейные размеры цепи, С - скорость света, тогда tзап = . Если Т >>  Т С >> l, т.к. Т С = , следовательно:  >> l - условие квазистационарности. (1.3.1.) Если условие квазистационарности выполняется, то можно пользоваться теорией цепей. Когда условие квазистационарности не выполняется, нужен другой анализ. В сантиметровом и оптическом диапазонах используется теория поля. 1.4. Векторные характеристики электромагнитных полей. Для полного описания свойств электромагнитных полей нужно знать положение, величину и направление в пространстве четырех векторов.  Е - вектор напряженности электрического поля.  Е(х, у,z,t)  [В/м]  D - вектор электрического смещения  D(x,y,z,t)  [кл/м2]  Н - вектор напряженности магнитного поля.  Н(х,у,z,t)  [А/М]  В - вектор магнитной индукции  В(x,y,z,t)  [Вб/м2]  Е, В - характеризуют силовые характеристики полей.  D,H - характеризуют источники ЭМП 1.5. Материальные уравнения среды. Материальные уравнения устанавливают связь между векторными характеристиками электромагнитных полей одинаковой природы. Рассмотрим связь между векторами D и